1 . 已知椭圆的离心率为,且椭圆过点,过点作两条相互垂直的直线,分别与椭圆交于四点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若,探究：直线是否过定点？若是,请求出定点坐标；若不是,请说明理由.

2 . 已知椭圆：过点和点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，，记线段的中点为，是否存在实数，使得？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．
（）求椭圆的标准方程．
（）是否存在斜率为的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

4 . 对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为．利用此结论解答下列问题．点是椭圆上的点，并且椭圆在点处的切线斜率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动点在直线上，经过点的直线，与椭圆相切，切点分别为，．求证：直线必经过一定点．

5 . 已知椭圆过，两点．
(I)求椭圆的方程及离心率；
(Ⅱ)设点在椭圆上．试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

6 . 已知双曲线的焦点是椭圆的顶点，为椭圆的左焦点且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右顶点作斜率为的直线交椭圆于另一点，连结并延长交椭圆于点，当的面积取得最大值时，求的面积.

7 . 已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，是椭圆的左、右焦点，以点为圆心、3为半径的圆与以点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：．

8 . 如图所示，椭圆的离心率为，且椭圆经过点，已知点，过点的动直线与椭圆相交于，两点，与关于轴对称．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：，，三点共线．

9 . 已知椭圆：过点，离心率是．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线过点且交椭圆于A、B两点，若(其中为坐标原点)，求直线的方程．

10 . 已知，是椭圆的左、右焦点，为原点，在椭圆上，线段与轴的交点满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆右焦点作直线交椭圆于，两点，交轴于点，若，，求.