1 . 已知双曲线C：的右顶点为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C的右支上，若直线AM与AN的斜率的乘积为-9，求证：直线MN过定点.

2 . 已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线.

3 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右顶点，且
(1)求双曲线的方程；
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，设为坐标原点，求证：的面积为定值

4 . 已知双曲线的实轴长为2，设为的右焦点，为的左顶点，过的直线交于A，B两点，当直线AB斜率不存在时，的面积为9．
(1)求的方程；
(2)当直线AB斜率存在且不为0时，连接TA，TB分别交直线于P，Q两点，设为线段PQ的中点，记直线AB，FM的斜率分别为，证明：为定值．

5 . 如图，已知双曲线的右焦点，点分别在C的两条渐近线上，轴，（O为坐标原点）．

(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点的直线与直线AF相交于点M，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值．

6 . 设是已知的双曲线，以的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线叫做的共轭双曲线．
(1)求双曲线的共轭双曲线的方程；
(2)求证：双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一圆上．

7 . 已知双曲线经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线.
(1)求的标准方程；
(2)设是上任意一点，直线.证明：与双曲线相切于点；
(3)设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上.

8 . 已知点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)设点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值；
(3)过点作斜率为的动直线与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点，满足．
（ⅰ）求斜率的取值范围；
（ⅱ）证明：点恒在一条定直线上．

9 . 已知双曲线：的右焦点为，直线：与的渐近线相交于点，，且的面积为.
(1)求C的标准方程；
(2)过点F作直线与C的右支相交于M，N两点，若x轴上的点G使得等式恒成立，求证：点的横坐标为.

10 . 已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．
(1)求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．