1 . 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程．

2 . 分别求适合下列条件的方程：
(1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
(2)经过点的抛物线的标准方程.

3 . 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过直线上的点作抛物线的两条切线，设切点分别为，，求点到直线的距离的最大值.

4 . 已知抛物线的焦点为F，点E在C上，以点E为圆心，为半径的圆的最小面积为．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线与C交于M，N两点，过点M，N分别作C的切线，，两切线交于点P，求点P的轨迹方程．

5 . 已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于，两点，
(1)当的纵坐标为4时，求抛物线在点处的切线方程；
(2)四边形面积的最小值.

6 . 在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，是抛物线C上一点，，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段的中点坐标为，求直线l的方程．

7 . 已知抛物线焦点为F，点在抛物线上，.
(1)求抛物线方程；
(2)过焦点F直线l与抛物线交于MN两点，若MN最小值为4，且是钝角，求直线斜率范围.

8 . 如图，已知抛物线，焦点为，准线为直线，为抛物线上的一点，过点作的垂线，垂足为点．当的横坐标为3时，为等边三角形．

(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交抛物线于，两点，交直线于点，交轴于．
①若，，求证：为常数；
②求的取值范围．

9 . 已知抛物线C：，P是C上纵坐标为2的点，以点P为圆心，PO为半径的圆（O为原点）交C的准线l于A，B两点，且.
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点P作直线PM，PN分别交C于M，N两点，且使∠MPN的平分线与y轴垂直，问：直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

10 . 已知抛物线上一点到焦点F的距离为4．
(1)求实数p的值；
(2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程．