1 . 已知椭圆的上、下焦点分别为，上焦点到直线 的距离为3，椭圆C的离心率．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过椭圆C的上顶点A的直线与椭圆交于点B(B不在y轴上)，垂直于的直线与交于点M，与轴交于点H，若，且，求直线的方程．

2 . 已知椭圆：，点是椭圆上任意一点，且点满足（，是常数）.当点在椭圆上运动时，点形成的曲线为.
（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；
（Ⅱ）过曲线上点作椭圆的两条切线和，切点分别为，.
①若切点的坐标为，求切线的方程；
②当点运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求圆的方程；若不存在，请说明理由.

3 . 设椭圆：（）的长轴长为6，离心率，为坐标原点.
(1)求椭圆标准方程；
(2)如图，若分别过椭圆的左右焦点，的动直线，相交于点，与椭圆分别交于、与、不同四点，直线、、、的斜率、、、满足.是否存在定点、，使得为定值.存在，求出、点坐标；若不存在，说明理由.

4 . 已知椭圆：经过点，左右焦点分别为、，圆与直线相交所得弦长为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上不在轴上的一个动点，为坐标原点，过点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的取值范围．

5 . 已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足.
(Ⅰ)当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；
(Ⅱ)若斜率为的直线与圆相切，与(Ⅰ)中所求点的轨迹交于不同的两点，且（其中是坐标原点）求的取值范围.

6 . 已知椭圆过定点，以其四个顶点为顶点的四边形的面 积等于以其两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积的倍．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于，两点，轴上一点，使得为锐角，求实数的取值范围．

7 . 已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于，两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的的坐标与的方程；若不存在，说明理由，

8 . 已知椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知两点，及椭圆，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，设线段的中点为，连接，试问当为何值时，直线过椭圆的顶点？
（Ⅲ） 过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接并延长交椭圆于，求证：．