1 . 已知椭圆过点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线交椭圆于点，，直线交直线于点，求证：．

2 . 已知椭圆：的离心率为，且过点，点在圆：上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点，是圆上异于的两点，且直线、与椭圆相切，求证：，关于原点对称．

3 . 设F为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆C交于两点.

（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线的方程；
（2）设直线的斜率分别为，，求证：为定值.

4 . 已知O为坐标系原点，椭圆的右焦点为点F，右准线为直线n.
（1）过点的直线交椭圆C于两个不同点，且以线段为直径的圆经过原点O，求该直线的方程；
（2）已知直线l上有且只有一个点到F的距离与到直线n的距离之比为.直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线，交直线l于点M.求证：为定值.

5 . 已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点.
（ⅰ）求证：直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）判断三点是否共线，并说明理由.

6 . 已知点为椭圆上一点，且的离心率为.
（1）求的标准方程；
（2）若为上第二象限内一点，点关于直线的对称点为，直线与交于另一点，为坐标原点，求证.

7 . 已知椭圆：的左顶点与上顶点的距离为．
（1）求椭圆的方程和焦点的坐标；
（2）若点在椭圆上，线段的垂直平分线分别与线段，轴，轴交于不同的三点，，．
（i）求证：点，关于点对称；
（ii）若为直角三角形，求点的横坐标．

8 . 已知椭圆的一个焦点为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，且不与顶点重合，与分别是椭圆的左右顶点，点为上顶点.若直线与直线交于点，直线与直线交于点.求证：
是等腰三角形.

9 . 已知椭圆的一个焦点为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，，，点是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点.求证：为等腰三角形.

10 . 如图，已知椭圆的右焦点为，原点为，椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为，椭圆在点处的两切线的交点为.

（1）求证：三点共线；
（2）求的最小值.