1 . 椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆内壁反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．从发出的一条光线，经椭圆上，两点（均不与，重合）各反射一次后，又回到点，这个过程中光线所经过的总路程为．
（1）求椭圆的长轴长；
（2）若椭圆的焦距为，直线与直线交于点，证明，，三点共线．

4 . 已知双曲线的焦点为椭圆的长轴端点，且椭圆E的离心率为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点，求证：

5 . 已知椭圆的离心率是分别为椭圆的左右顶点，为上顶点，的面积为2，直线过点且与椭圆交于两点（异于）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的面积最大值；
（3）设直线与直线的斜率分别为求证: 为常数，并求出这个常数.

7 . 已知A､B为椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足，设直线AP､BP､AQ､BQ的斜率分别为k₁､k₂､k₃､k₄.
（1）求证：点P､Q､O三点共线；
（2）当a=2，b=时，若点P､Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为，求△BPQ的面积S；
（3）若F₁､F₂分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF₁PF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值.

8 . 已知椭圆经过如下四个点中的三个点：，，，.
（I）求椭圆的方程；
（II）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点）.点在椭圆上，且，直线与轴交于点.过点作轴的垂线，垂足为点，直线与直线相交于点，求证：为等腰三角形.

9 . 在平面直角坐标系中，设F为椭圆的左焦点，左准线与x轴交于点P，M为椭圆C的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点P的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为.
①求证：为定值；
②求面积的最大值.

10 . 已知点是椭圆：上一点，，分别为椭圆的左、右顶点，直线过椭圆的右焦点，且点，到直线的距离的比值为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点是直线上且不在轴上的动点，直线，分别与椭圆交于另一点，，求证：，，三点共线．