1 . 如图，已如椭圆：的右焦点为，点，分别是椭圆的上､下顶点，点是直线：上的一个动点（与轴交点除外），直线交椭圆于另一点.

(1)当直线过椭圆的右焦点时，求的面积；
(2)记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
(3)求的取值范围.

2 . 已知椭圆的离心率为，椭圆C的一个顶点是抛物线的焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P（4，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点，在线段AB上一点存在点Q，满足，证明：点Q在一定直线上.

3 . 已知椭圆C：的离心率为，焦距为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），O为坐标原点，若与Q关于x轴对称，求证：．

4 . 椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是P，的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值；
(3)过点任作一动直线l交椭圆与A，B两点，记，若在直线AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.

5 . 已知椭圆E： ＝1(a＞b＞0)，B₁、B₂分别是椭圆短轴的上、下两个端点，F₁是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B₁、B₂的点，△B₁F₁B₂是边长为4的等边三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点R满足RB₁⊥PB₁，RB₂⊥PB₂，求证：△PB₁B₂与△RB₁B₂的面积之比为定值．

6 . 已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过、两点.

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若点为椭圆上异于顶点的动点，求证：直线与椭圆只有一个公共点，并写出以为切点的椭圆的切线方程.

7 . 已知椭圆，点在椭圆上，且离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上任一点，为椭圆的左､右顶点，为中点，求证：直线与直线它们的斜率之积为定值；
（3）若椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，求证：直线与直线斜率之和为定值.

8 . 过椭圆：的左焦点作直线交椭圆于，两点，其中，另一条过的直线交椭圆于，两点（不与，重合），且点不与点重合，过作轴的垂线分别交直线，于，.
（1）求椭圆的离心率和点坐标；
（2）求证：，两点关于轴对称.

9 . 已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，过点作一直线交椭圆于，两点，且坐标原点关于点的对称点记为；
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值；
（3）设点为点关于轴的对称点，求证：，，三点共线；