1 . 设、为椭圆的两个焦点，P为椭圆上任一点，延长至E，使，l为的垂直平分线，求证：l与椭圆只有唯一的公共点.

3 . 已知椭圆：的上顶点与下顶点在直线：的两侧，且点到的距离是到的距离的倍．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设与交于，两点，求证：直线与的斜率之和为定值．

5 . 已知椭圆C的中心为坐标原点，且以直线（m∈R）所过的定点为一个焦点，过右焦点F₂且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2.
（1）求椭圆C的标准方程；.
（1）设点A，B分别是椭圆C的左､右顶点，P，Q分别是椭圆C和圆O∶上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于不同的两点M，N，求证∶QM与QN所在的直线互相垂直.

7 . 已知椭圆（）的焦点是F₁，F₂，且| F₁F₂|=2，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点F₂的直线交椭圆于，（）两点，点Q是直线l上异于F₂的一点，且满足.求证：点Q的横坐标是定值.

8 . 已知椭圆E：，P为椭圆E的右顶点，O为坐标原点，过点P的直线l₁，l₂与椭圆E的另外一个交点分别为A，B，线段PA的中点为M，线段PB的中点为N.
（1）若直线OM的斜率为，求直线l₁的方程；
（2）若OM⊥ON，证明：直线AB过定点.

9 . 在平面直角坐标系中，，，曲线上的动点满足，直线过交曲线于、两点．
（1）求曲线的方程；
（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；
（3）设，是曲线上的任意一点，若，求证：动点在定圆上运动．

10 . 已知椭圆，双曲线，设椭圆与双曲线有相同的焦点，点，分别为椭圆与双曲线在第一、二象限的交点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与轴相交于点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于，），求证：直线与直线的交点在一定直线上运动，并求出该直线的方程．