1 . 如图，已知椭圆：经过点，、为椭圆的左右顶点，为椭圆的右焦点，．

(1)求椭圆的方程；
(2)已知经过右焦点的直线（不经过点）交椭圆于、两点，交直线：于点，若，求直线的斜率．

2 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点，为坐标原点，为椭圆上的两个动点，线段的中点在直线上，求面积的最大值．

3 . 已知椭圆的离心率为，P为椭圆E上一点，Q为圆上一点，的最大值为3（P，Q异于椭圆E的上下顶点）.

(1)求椭圆E的方程；
(2)A为椭圆E的下顶点，直线AP，AQ的斜率分别记为，，且，求证：直线PQ过定点，并求出此定点的坐标.

4 . 设椭圆，点，为E的左、右焦点，椭圆的离心率，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)M是直线上任意一点，过M作椭圆E的两条切线MA，MB，（A，B为切点）．
①求证：；
②求面积的最小值．

5 . 在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点.若以为直径的圆O与以为直径的圆T内切.
(1)证明：为定值，并求点P的轨迹E的方程；
(2)设斜率为的直线l与曲线E相交于C、D两点，问在E上是否存在一点Q，使直线、与y轴所围成的三角形是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由.

6 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，满足，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)点，点A，B在椭圆上，点N在直线：，满足，，试问是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

7 . 已知椭圆C：经过点P，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P作直线l//y轴，第四象限内一点A在椭圆C上（点A不在直线l上），点A和点B关于直线l对称，直线BP与椭圆的另一个交点为Q，试判断直线AQ和直线OP（O为原点）的位置的关系，并说明理由．

8 . 设椭圆过，两点，O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)椭圆E的右顶点为D，直线与椭圆E交于A、B两点（A、B不是左右顶点），若其满足，且直线l与以原点为圆心半径为的圆相切，求直线l的方程.

9 . 已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为.
(1)求椭圆C的方程：
(2)设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.

10 . 已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在y轴上是否存在点M，过点M的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，使得三角形的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.