1 . 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出的坐标；
(3)设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于．

4 . 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为.上、下顶点分别为，且面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上一点（不与顶点重合），直线与x轴交于点M，直线、分别与直线交于点N、D，求证：与的面积相等.

5 . 已知椭圆的右焦点为，且经过点，设O为原点，直线与椭圆交于两个不同点P，Q，
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，且，求证：直线l经过定点；
(3)若，求面积的最大值，并求此时直线l的方程．

6 . 已知椭圆过点，且的右焦点为.
(1)求的方程：
(2)设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点.
（i）证明：到直线和的距离相等；
（ii）若的面积等于的面积，求的坐标.

7 . 已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程．
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最大值．

8 . 已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．
①求证：点在定直线上；
②求面积的最大值．

9 . 已知椭圆C：的左右顶点分别为A，B，过的直线与椭圆C交于E，F两点（异于左右顶点），直线AE，BF相交于点P．
(1)求证：点P在定直线上；
(2)线段EF的中点为M，求面积的最大值．

10 . 已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知，点P为椭圆C上一点．
（ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标；
（ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值．