1 . 已知椭圆过点．离心率为，右焦点为﹐过的直线与椭圆交于，两点，点的坐标为﹒
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点．证明：．

2 . 已知椭圆的焦距为2，长轴长为4．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点且与x轴不重合的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，点B关于x轴的对称点为．问：平面内是否存在定点P，使得恒在直线上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，求证：轴上存在定点，使得直线与直线的斜率之和为零.

4 . 已知椭圆过点，且．
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)设O为原点，直线OP与直线l平行，直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线PM，PN分别与x轴交于点E，F．当E，F都在y轴右侧时，求证：为定值．

5 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆上不同于的一点，直线与直线分别交于点 .证明：以线段为直径作圆被轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.

6 . 已知椭圆：经过点且离心率为，，是椭圆的两个焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆上一点，直线与椭圆交于另一点，点满足：轴且，求证：是定值．

7 . 法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于P，Q两点，直线交于A，B两点，则下列说法，正确的有______.
①椭圆的离心率为
②面积的最大值为
③到的左焦点的距离的最小值为
④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则

8 . 已知椭圆的离心率为，四边形的各顶点均在椭圆上，且对角线、均过坐标原点，点，、的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过作直线平行于．若直线平行于，且与椭圆交于不同的两点、，与直线交于点．
①证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；
②证明：存在常数，使得，并求出的值．

9 . 已知椭圆C：与椭圆的离心率相同，为椭圆C上一点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问以AB为直径的圆是否经过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

10 . 已知点为椭圆C：上一点，A、B分别为C的左、右顶点，且的面积为5．
(1)求C的标准方程；
(2)过点的直线l与C相交于点M，N（点M在x轴上方），AM，BN与y轴分别交于点G，H，记，分别为，（点O为坐标原点）的面积，证明：为定值．