1 . 椭圆，直线经过椭圆C的一个焦点与其相交于点M，N，且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P，问：在x轴上是否存在一个定点Q，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标和的值；若不存在，说明理由.

2 . 已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线与椭圆E相交于A、B两点，且原点O在以AB为直径的圆上，求直线斜率的值.

3 . 如图，已知动圆过点，且与圆内切于点，记动圆圆心的轨迹为.

(1)求的方程；
(2)过点的直线交于、两点，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

4 . 椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线的斜率为1时，求的面积；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

5 . 法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（       ）

A．椭圆C的离心率为

B．M到C的右焦点的距离的最大值为

C．若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为，，则

D．面积的最大值为

6 . 已知椭圆：过点，且点到其两个焦点距离之和为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为原点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于，两点，且直线与轴不重合，直线，分别与轴交于，两点．求证：为定值．

7 . 已知椭圆C：的长轴长为4，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D.求证：为定值.

8 . 已知椭圆：，点，过点的直线与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)若直线的斜率为，求的面积；
(2)设直线和直线的斜率分别为和，求证：为定值.

9 . 已知椭圆的长轴长为6，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点A，B为椭圆C的左右顶点，M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线AM交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线BN垂直的直线记为l，直线BM交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值．

10 . 已知椭圆点，且离心率，F为椭圆C的左焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点，过点F的直线l交椭圆C于P，Q两点，，连接OT与PQ交于点H.
①若，求；
②求的值.