1 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若.试问：△ABP的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.

2 . 已知椭圆：与椭圆：的离心率相等，的焦距是．
(1)求的标准方程；
(2)P为直线l：上任意一点，是否在x轴上存在定点T，使得直线PT与曲线的交点A，B满足？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．

3 . 如图，A、F是椭圆C：（）的左顶点和右焦点，P是C上在第一象限内的点.

(1)若，轴，求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的离心率为，，求直线PA的倾斜角 的正弦.

4 . 已知椭圆，，为的左右焦点.点为椭圆上一点，且.作作两直线与椭圆相交于相异的两点A，，直线、的倾斜角互补，直线与，轴正半轴相交.
(1)求椭圆的方程；
(2)求直线的斜率.

5 . 已知点与定点的距离和它到定直线的距离比是.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.

6 . 已知椭圆，上顶点和右顶点分别是，椭圆上有两个动点，且.如图所示，已知，且离心率.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形面积的最大值；并试探究直线与的斜率之积是否为定值若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由.

7 . 已知椭圆的左、右顶点分别为、，短轴长为，点上的点满足直线、的斜率之积为．
(1)求的方程；
(2)若过点且不与轴垂直的直线与交于、两点，记直线、交于点．探究：点是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

8 . 已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，，的中点分别为M，N.试问：直线是否恒过定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.

9 . 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，且．
①求证：直线经过定点．
②设和的面积分别为、，求的最大值．

10 . 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过，直线与椭圆E交于A、B．

(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线TA、TB的斜率分别为，，证明：；
(3)直线是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义为椭圆E的弦切角，为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角的关系，并证明你的论．