1 . 已知椭圆的右焦点为，若过点的直线与椭圆交于，两点，且的中点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的右顶点为，点，在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，证明直线经过定点，并求面积的最大值．

2 . 已知椭圆的离心率为，焦距为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆的右焦点的动直线与椭圆交于、两点（点在轴上方），、为椭圆的左、右顶点，直线，与轴分别交于点、，为坐标原点，求的值．

3 . 椭圆的左、右顶点分别为，点为第一象限内的动点，直线，与分别交于另外的两点，已知的斜率之比为．
(1)证明：直线过定点：
(2)设和的面积分别为和，求的最大值．

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，、，点是椭圆短轴的一个顶点.若是周长为6的等边三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)作斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，点为的中点.若、的斜率分别为、，证明：为定值.

5 . 已知椭圆的离心率为，，是C的顶点，点M是第一象限内的动点，已知的斜率之比为．
(1)证明：点M在一条定直线上；
(2)设与椭圆C分别交于另外的两点，证明直线过定点．

6 . 已知椭圆：的离心率为，其左、右焦点分别为、，上顶点为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线：与椭圆交于两点，О为坐标原点.试求当为何值时，恒为定值，并求此时面积的最大值.

7 . 已知椭圆，过原点作直线与椭圆交于两点，其中位于第一象限，为椭圆上异于A、B的一点．
(1)若AC经过椭圆的右焦点，试求的最大值．
(2)若，记点，试问：B、C、D三点是否共线？请给出判断并说明理由．

8 . 已知，，三点中有两点在椭圆上，椭圆的右顶点为，过右焦点的直线与交于点，，当垂直于轴时.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，在轴是否存在定点，使得，若存在，求出点，若不存在，说明理由.

9 . 已知椭圆的离心率，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，试探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值及点坐标；若不存在，请说明理由

10 . 椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，求的值．