【推荐1】已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求E的方程；
(2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，的中点分别为M，N．探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，直线与椭圆C交于A，B两点，且的周长最大值为8．
   
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，P，Q是椭圆C上的两点，且直线与的斜率之积为（O为坐标原点），D为射线上一点，且，线段与椭圆C交于点E，，求四边形的面积．

【推荐3】已知椭圆：的一个焦点坐标为，离心率.

(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，椭圆与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M.若直线OM的斜率为-1，求线段AB的长；
(3)如图，设椭圆上一点R的横坐标为1（R在第一象限），过R作两条不重合直线分别与椭圆交于P、Q两点、若直线PR与QR的倾斜角互补，求直线PQ的斜率的所有可能值组成的集合.

【推荐1】已知两点、，直线、相交于点，且这两条直线的斜率之积为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为曲线，曲线上在第一象限的点的横坐标为，直线、与圆相切于点、，又、与曲线的另一交点分别为、，求的面积的最大值（其中点为坐标原点）．

【推荐2】（本小题满分12分）
已知椭圆的上、下、左、右四个顶点分别为x轴正半轴上的某点满足．

(1)求椭圆的方程;
(2)设该椭圆的左、右焦点分别为,点在圆上,且在第一象限,过作圆的切线交椭圆于,求证:△的周长是定值．

【推荐3】已知，分别为椭圆的左右焦点，点为上任意一点，且最大值为，最小值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、，设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．

【推荐1】已知椭圆M：，圆N是椭圆M长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆.
（1）求圆N的方程；
（2）过圆N上的任一点A作圆N的切线交椭圆M于B，C两点，求证为定值.

【推荐2】已知焦点在轴的椭圆，它的一个顶点为，离心率，过点作斜率为的直线，与椭圆交于、两点.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图所示，设直线、在轴上的截距分别为、，是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆：（）的焦点坐标为，长轴长是短轴长的2倍．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线不过点且与椭圆交于两点，从下面①②中选取一个作为条件，证明另一个成立.
①直线的斜率分别为，则；②直线过定点.

【推荐1】设椭圆：的离心率，原点到点、所在直线的距离为．
(1)求此椭圆的方程；
(2)如图，设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，直线与轴是否交于一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

【推荐2】设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值．