1 . 已知抛物线的焦点为是过的直线与抛物线的两个交点，求证：
（1）；
（2）为定值；
（3）以为直径的圆与抛物线的准线相切．

2 . 设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线过焦点的弦，已知以为直径的圆与相切于点.
（1）求的值及圆的方程；
（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.

3 . 已知动圆过点且与直线相切.
（1）求圆心的轨迹的方程；
（2）过的直线与交于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，线段的中点为.
①求证：；
②记四边形，的面积分别为，，若，求.

4 . 已知抛物线x²=2py(p>0)，其焦点F到准线的距离为1.过F作抛物线的两条弦AB和CD（点A，C在第一象限），且M，N分别是AB，CD的中点.
（1）若ABCD，求面积的最小值；
（2）设直线AC的斜率为k_AC，直线BD的斜率为k_BD，且k_AC+4k_BD＝0，求证：直线AC过定点，并求此定点.

5 . 已知点是抛物线的焦点，过的弦被焦点分成两段的长分别是2和6.
（1）求此抛物线的方程；
（2）是抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，（，是切点），两切线分别交轴于，，直线交抛物线对称轴于点，求证四边形是平行四边形.

6 . 过的直线与抛物线交于，两点，以，两点为切点分别作抛物线的切线，，设与交于点.
（1）求；
（2）过，的直线交抛物线于，两点，证明：，并求四边形面积的最小值.

7 . 已知A，B是抛物线C：y²＝4x上两点，线段AB的垂直平分线与x轴有唯一的交点P（x₀，0）．
（1）求证：x₀＞2；
（2）若直线AB过抛物线C的焦点F，且|AB|＝10，求|PF|．

8 . 设抛物线，F为C的焦点，点为x轴正半轴上的动点，直线l过点A且与C交于P，Q两点，点为异于点A的动点.当点A与点F重合且直线l垂直于x轴时，.
（1）求C的方程；
（2）若直线l不垂直于坐标轴，且，求证：为定值.

9 . 设抛物线C:与直线交于A、B两点.
（1）当取得最小值为时，求的值.
（2）在（1）的条件下，过点作两条直线PM、PN分别交抛物线C于M、N（M、N不同于点P）两点，且的平分线与轴平行，求证：直线MN的斜率为定值.

10 . 已知抛物线，过抛物线焦点的直线分别交抛物线和圆于点(自上而下)．
（1）求证：为定值；
（2）若、、成等差数列，求直线的方程．