1 . 在平面直角坐标系xOy中，抛物线：的焦点为F，点，，在抛物线上，直线，，的斜率分别为，，．
(1)若F为的重心，求证：为定值；
(2)若F为的垂心，求证：为定值．

2 . 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于M，N两点在第一象限）.
(1)当时，求直线的方程;
(2)若三角形OMN的外接圆与曲线交于点（异于点O，M，N），
（i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;
（ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.

3 . 已知抛物线，，过焦点的直线交抛物线于，两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若线段交轴于，两点，判断是否是定值，若是，求出该值，否则说明理由．
(3)若直线交抛物线于C，D两点，为弦的中点，，是否存在整数，使得的重心恰在抛物线上．若存在，求出满足条件的所有的值，否则说明理由．

4 . 已知直线与抛物线：交于，两点．是线段的中点，点在直线上，且垂直于轴．
(1)求证：的中点在上；
(2)设点在抛物线：上，，是的两条切线，，是切点．若，且位于轴两侧，求证：．

5 . 已知抛物线，为坐标原点，为焦点，其准线过点，过点的直线与抛物线交于，两点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，则（       ）

A．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点到原点的距离为

B．

C．直线的斜率为

D．若为抛物线上位于轴上方的一点，，则当取最大值时，的面积为2

6 . 设抛物线C：的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与抛物线C切于A，B两点，过点P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q.
(1)若AB过焦点F，且，求直线AB的倾斜角；
(2)求的值.

7 . 在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上两点（异于点O），过点P且与C相切的直线l交x轴于点M，且直线与l的斜率乘积为．

(1)求证：直线过定点，并求此定点D的坐标；
(2)过M作l的垂线交椭圆于A，B两点，过D作l的平行线交直线于H，记的面积为S，的面积为T．

①当取最大值时，求点P的纵坐标；

②证明：存在定点G，使为定值．

8 . 已知抛物线的焦点为F，过抛物线上任意一点P作圆的切线，A为切点，且直线交抛物线于另一点Q，则下列结论正确的有（     ）

A．的最小值为

B．的取值范围为

C．三角形面积的最小值为

D．连接，并延长，分别交抛物线于N，M两点，设直线和直线的斜率分别为，，则

9 . 设为抛物线：的焦点，过点的直线与抛物线交于两点，过作与轴平行的直线，和过点且与垂直的直线交于点，与轴交于点，则（       ）

A．为定值

B．当直线的斜率为时，的面积为其中为坐标原点

C．若为的准线上任意一点，则直线，，的斜率成等差数列

D．点到直线的距离为

10 . 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过抛物线的顶点作两条互相垂直的射线交抛物线于两点（两点与点不重合），作于点.
(1)记动点的轨迹为曲线，求曲线的方程；
(2)已知直线，过点作与夹角为的直线，交于点，求的取值范围.