1 . 已知动点到点的距离比到直线的距离小1,设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)已知点,过点作直线与曲线交于两点,连接分别交于两点.
①当直线的斜率存在时,设直线的斜率为,直线的斜率为,试判断是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;
②求面积的最小值.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)已知点,过点作直线与曲线交于两点,连接分别交于两点.
①当直线的斜率存在时,设直线的斜率为,直线的斜率为,试判断是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;
②求面积的最小值.
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2 . 已知抛物线的焦点为F,P是C上一点,线段PF的中点为.
(1)求C的方程;
(2)若,O为原点,点M,N在C上,且直线OM,ON的斜率之积为2024,求证:直线MN过定点.
(1)求C的方程;
(2)若,O为原点,点M,N在C上,且直线OM,ON的斜率之积为2024,求证:直线MN过定点.
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3 . 已知抛物线C:与椭圆E:的一个交点为,且E的离心率.
(1)求抛物线C和椭圆E的方程;
(2)过点A作两条互相垂直的直线AP,AQ,与C的另一交点分别为P,Q,求证:直线PQ过定点.
(1)求抛物线C和椭圆E的方程;
(2)过点A作两条互相垂直的直线AP,AQ,与C的另一交点分别为P,Q,求证:直线PQ过定点.
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4 . 已知抛物线的焦点为,过抛物线上一点作两条斜率之和为0的直线,与的另外两个交点分别为(均在点下方),则下列说法正确的是( )
A.的准线方程是 |
B.若圆与以为半径的圆外切,则圆与轴相切 |
C.直线的斜率为定值 |
D.的面积最大值为 |
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5 . 如图,抛物线:上异于坐标原点的两不同动点、满足.(1)求证:直线过定点;
(2)过点,分别作抛物线的切线交于点,求的面积的最小值.
(2)过点,分别作抛物线的切线交于点,求的面积的最小值.
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6 . 设点为抛物线的焦点,过点且斜率为的直线与交于两点(为坐标原点).
(1)求抛物线的方程;
(2)过点作两条斜率分别为的直线,它们分别与抛物线交于点和.已知,问:是否存在实数,使得为定值?若存在,求的值,若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点作两条斜率分别为的直线,它们分别与抛物线交于点和.已知,问:是否存在实数,使得为定值?若存在,求的值,若不存在,请说明理由.
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7 . 已知抛物线,直线与交于,两点,且.
(1)求的值;
(2)过点作的两条切线,切点分别为,,证明:直线过定点;
(3)直线过的焦点,与交于,两点,在,两点处的切线相交于点,设,当时,求面积的最小值.
(1)求的值;
(2)过点作的两条切线,切点分别为,,证明:直线过定点;
(3)直线过的焦点,与交于,两点,在,两点处的切线相交于点,设,当时,求面积的最小值.
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8 . 已知抛物线的焦点与圆的圆心重合,直线与交于,两点,且满足:(其中为坐标原点且,均不与重合),对于下列命题:
①,;②直线恒过定点;③,中点轨迹方程:;④面积的最小值为16.
其中是真命题的有_________________ .
①,;②直线恒过定点;③,中点轨迹方程:;④面积的最小值为16.
其中是真命题的有
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9 . 已知抛物线的顶点是椭圆的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点,坐标原点为中点,
①求证:;
②是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出的方程;如果不存在,说明理由.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点,坐标原点为中点,
①求证:;
②是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出的方程;如果不存在,说明理由.
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10 . 已知定点,动点N在直线上,过点N作l的垂线,该垂线与NF的垂直平分线交于点T,记点T的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知点P、A、B是曲线C上的点,且.
(i)若点P的坐标为,则动直线AB是否过定点?如果过定点,请求出定点坐标,反之,请说明理由;
(ii)若,求面积的最小值.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知点P、A、B是曲线C上的点,且.
(i)若点P的坐标为,则动直线AB是否过定点?如果过定点,请求出定点坐标,反之,请说明理由;
(ii)若,求面积的最小值.
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