1 . 已知离心率为的椭圆经过点A（2，1）．
(1)求椭圆C的方程．
(2)不经过点A且斜率为的直线与椭圆C相交于P ，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

3 . 椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点到直线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交双曲线右支于点，，点在上，求面积的取值范围.

4 . 历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年—公元前325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽､系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点为，，若由发出的光线经椭圆两次反射后回到经过的路程为.对于椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为，在上的射影为，其中.

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，过作斜率为的直线与椭圆相交于，两点（点在轴上方）.点，是椭圆上异于，的两点，，分别平分和，若外接圆的面积为，求直线的方程.

5 . 已知点为中心在坐标原点的椭圆C的焦点，且椭圆过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F作直线与椭圆C交于A，B两点，设，若，点，求的取值范围.

6 . 已知椭圆：，，是左右焦点，且直线过点（）交椭圆于，两点，点，在轴上方，点在线段上．
(1)若为上顶点，，求的值；
(2)若，原点到直线的距离为，求直线的方程；
(3)对于任意点，是否存在唯一的直线，使得，若存在，求出直线的斜率，若不存在，请说明理由．

8 . 已知椭圆的左焦点为，下顶点为．点是第一象限内椭圆上一点，点在轴上，且直线与椭圆有且仅有一个交点．
（1）记点，的纵坐标分别为，，求；
（2）若线段上存在一点，使得，且，求点的坐标．

9 . 已知椭圆C：的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为，△AOF的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

10 . 已知椭圆的右焦点为F，过F的直线与椭圆E交于点A，B，当直线的方程为时，直线过椭圆的一个顶点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，若，求直线的斜率．