1 . 设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，、分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于、两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；
(3)设点是一个动点，若直线的斜率存在，且为中点，，求实数的取值范围．

2 . 椭圆：的离心率为，且过点，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)圆的一条切线与椭圆交于、两点.
①证明；
②求的取值范围.

3 . 在平面直角坐标系xOy中，已知，分别是椭圆：的左焦点和右焦点.
(1)求焦点，的坐标；
(2)设T是椭圆C上的任意一点，求取值范围；
(3)设，与坐标轴不垂直的直线与椭圆C交于B，D两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程.

4 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆C上一点N到距离的最大值为4，过点的直线交椭圆C于点A、B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围.

5 . 已知点M是椭圆C：上一点，F₁，F₂分别为C的左、右焦点，且|F₁F₂|＝4，∠F₁MF₂＝60°，的面积为.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设P为椭圆C上的动点，求取值范围；
(3) 设Q为椭圆C与焦点F₁，F₂不共线点，若面积小于，求点Q横坐标的取值范围.

6 . 已知椭圆C：．过点的直线与椭圆C相交于A，B两点．
（1）线段的垂直平分线交于点M，交y轴于点Q，求证：线段QM的中点在定直线上；
（2）求的取值范围．

7 . 已知椭圆：（）的右焦点为F，原点到过点，的直线的距离是，且圆O：经过点F.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l₁：与圆O相切，且与椭圆相交于A，B两点，直线l₂与l₁平行且与椭圆相切于点M（O，M位于直线l₁的两侧）.记△MAB，△OAB的面积分别为S₁，S₂，若，求实数的取值范围.

8 . 设点和分别是椭圆上不同的两点，线段最长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过点，且，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．

9 . 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率大于的直线与椭圆相交于不同的两点和，直线、分别交轴于 、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围．

10 . 已知椭圆的右顶点为，左焦点为.
（1）求的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线、，直线交于、两点，直线交圆于、两点，为的中点，求的面积的取值范围.