1 . 设椭圆，右顶点是，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设与轴的正半轴交于点，直线与交于两点（不经过点），且，证明：直线经过定点，并写出该定点的坐标.

2 . 已知椭圆的离心率是，原点到直线的距离等于．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

3 . 设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.

4 . 已知椭圆，四点、、、中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）椭圆C上是否存在不同的两点M、N关于直线对称？若存在，请求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由；
（3）设直线l不经过点P₂且与C相交于A、B两点，若直线P₂A与直线P₂B的斜率的和为1，求证：l过定点．

5 . 已知椭圆的左焦点为，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知分别为椭圆的左、右顶点，为直线上任意一点，直线分别交椭圆于不同的两点.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.

6 . 已知平面上的动点及两定点，，直线，的斜率分别是，且.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线与曲线C交于不同的两点M，N.
①若（O为坐标原点），证明点O到直线的距离为定值，并求出这个定值.
②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点.

7 . 已知椭圆，焦距为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若一直线与椭圆相交于、两点（、不是椭圆的顶点），以为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上任意一点，的最小值为，且该椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上不同的两点，且，若，试问直线是否经过一个定点？若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.

9 . 已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.

10 . 已知椭圆（）的离心率为，短轴长为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围．