1 . 已知点，在椭圆 上.

(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点.

2 . 已知椭圆的离心率为，右顶点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)、为椭圆上的不同两点，设直线，的斜率分别为，，若，判断直线是否经过定点并说明理由．

3 . 已知为坐标原点，点到点的距离与它到直线的距离之比等于，记的轨迹为．点在上，三点共线，为线段的中点．
(1)证明：直线与直线的斜率之积为定值；
(2)直线与相交于点，试问以为直径的圆是否过定点，说明理由．

4 . “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
   
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系.
(1)若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)记（1）问所得图形为曲线，若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆C：经过圆：的圆心，C的左焦点F到圆上的点的距离的最小值为．
(1)求C的标准方程．
(2)过点F作斜率之积为－1的两条直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于M，N两点，点P，Q分别满足，，问：直线PQ是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．

6 . 已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；
(2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.
①求证：直线恒过一定点；
②设的面积为，求的最大值.

7 . 已知椭圆过点，长轴长为.
(1)求椭圆的方程及其焦距；
(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

9 . 已知椭圆，且过两点．
(1)求椭圆E的方程和离心率e；
(2)若经过有两条直线，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是AB，CD的中点试探究：与的面积之比是否为定值？
若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

10 . 已知椭圆C：的焦距为，且过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点．
①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标；
②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值．