1 . 已知椭圆C：（，）的长轴为双曲线的实轴，且椭圆C过点P（2，1）．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为，，且，当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程．

2 . 设椭圆C：（）的左､右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点.

3 . 已知椭圆的左､右顶点分别为A,B，点，连接交椭圆C于点M､N，为直角三角形，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C交于D､E两点，若，求证：直线l过定点

4 . 如图，点M是圆上的动点，点，线段MB的垂直平分线交半径AM于点P.

(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)若C，D为轨迹E与x轴的两个交点，G为直线上的动点，直线GC与E的另一个交点为N，直线GD与E的另一个交点为H，求证：直线NH过定点.

5 . 已知，两点分别在x轴和y轴上运动，且，若动点G满足，动点G的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)已知不垂直于x轴的直线l与轨迹E交于不同的A、B两点，总满足，证明：直线l过定点.

6 . 已知椭圆的离心率为，右焦点为F，右顶点为A，且.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

7 . 已知椭圆的离心率，椭圆上的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过椭圆C右焦点的直线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，满足k₁•k₂＝﹣2，l₁交C于点E，F，l₂交C于点G，H，线段EF与GH的中点分别为M，N．判断直线MN是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说明理由．

8 . 已知椭圆的离心率，且过点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设C点关于y轴的对称点为D，点M在直线OD上，过点M的直线l与E交于A、B两点，线段AB的中点为N，若，求点M的坐标．

10 . 已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点.