1 . 已知椭圆的两个焦点均在以原点为圆心，短半轴长为半径的圆上，且该圆截直线所得的弦长为.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）已知直线与椭圆的两个交点为，，点的坐标为.问：的值是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4，且过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过的直线l交椭圆C于两点，过A作x轴的垂线交椭圆C与另一点Q（Q不与重合）.设的外心为G，求证为定值.

3 . 在平面直角坐标系中，直线过点且与直线垂直，直线与轴交于点，点与点关于轴对称，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点不平行轴的直线与轨迹相交于，两点，设点，直线，，的斜率分别为，，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

4 . 已知分别是椭圆的左、右焦点，过且不与轴垂直的动直线与椭圆交于两点，点是椭圆右准线上一点，连结，当点为右准线与轴交点时，有.
（1）求椭圆的离心率；
（2）当点的坐标为时，求直线与直线的斜率之和.

5 . 已知椭圆的焦距为4，点P（2，3）在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P引圆的两条切线PA，PB，切线PA，PB与椭圆C的另一个交点分别为A，B，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出其定值，若不是，请说明理由．

6 . 已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点M（a，0），N（0，b），O（0，0），且△OMN的面积为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A，B是x轴上不同的两点，点A（异于坐标原点）在椭圆C内，点B在椭圆C外．若过点B作斜率不为0的直线与C相交于P，Q两点，且满足∠PAB+∠QAB＝180°．证明：点A，B的横坐标之积为定值．

7 . 椭圆的中心为坐标原点，点，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，一个焦点为，离心率为．点是椭圆上在第一象限内的一个动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若把直线，的斜率分别记作，，求证：；
（3）是否存在点使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．

8 . 已知椭圆的左右焦点分别为与，椭圆上的点到右焦点的最短距离为，为坐标平面上的一点，过点作直线和分别与椭圆交于点，和，，如图所示.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点在双曲线（顶点除外）上运动，证明为定值，并求出此定值.

9 . 如图，已知，为椭圆的左、右焦点.动点在直线上，过作的两条切线，切点分别为、，过，分别向，作垂线，垂足分别为，，，.

（1）证明：为定值；
（2）记和的面积分别为，，求的取值范围.

10 . 已知椭圆C：的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为(O为坐标原点).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上的一点，过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M，证明：|PF|＋|PM|为定值.