1 . 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.
①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；
②求证：线段的长为定值.

2 . 已知椭圆()的上顶点为，左焦点为，离心率为，直线与圆相切.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点且斜率存在的直线与椭圆相交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，试判断是否为定值？并说明理由.

3 . 已知椭圆与圆：有且仅有两个公共点，点、、分别是椭圆上的动点、左焦点、右焦点，三角形面积的最大值是．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点在椭圆第一象限部分上运动，过点作圆的切线，过点作的垂线，求证：，交点的纵坐标的绝对值为定值．

4 . 如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且．

(1)求圆的方程；
(2)过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：．

5 . 已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问是否为定值?并证明你的结论.

6 . 已知椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴，直线与椭圆交于两点（两点均不在坐标轴上）
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为坐标原点，若的面积为，试判断直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

7 . 已知椭圆的中点在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
   
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，在椭圆上，点、是椭圆上不同的两个动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.

8 . 已知点， 为平面直角坐标系 中的点，点P为线段EF的中点，当变化时，点P形成的轨迹 与x轴交于点A，B（A点在左侧），与y轴正半轴交于点C．
（1）求P点的轨迹的方程；
（2）设点M是轨迹上任意一点（不在坐标轴上），直线CM交x轴于点D，直线BM交直线AC于点N．
①若D点坐标为，求线段CM的长；
②求证：为定值．

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点，且．
(1)求椭圆C的方程．
(2)不经过点的直线被圆截得的弦长与椭圆C的长轴长相等，且直线与椭圆C交于D，E两点，试判断的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由．

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为,且，是椭圆上一点．
（1）求椭圆的标准方程和离心率的值；
（2）若为椭圆上异于顶点的任一点，、分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与轴交于点,直线与轴交于点，求证：为定值．