1 . 定义椭圆的“蒙日圆”的方程为，已知椭圆的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆的一条切线，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为，证明：为定值.

2 . 在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点、，设直线、的斜率分别为、.
①求证：为定值；
②求面积的最大值.

3 . 已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与其右焦点的最短距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，，为椭圆上的3个动点，且的重心是，求证：的面积为定值，并求这个定值．

4 . 椭圆C：的左､右焦点分别为､，上顶点为，为等边三角形，且椭圆过点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆：的切线交椭圆于､，且，若存在，求出；若不存在，说明理由.

5 . 在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点为，点、是椭圆上的两个动点．
（1）当、、三点共线时，直线、分别与轴交于，两点，求的值；
（2）设直线、的斜率分别为，，当时，证明：直线恒过一个定点．

6 . 已知是圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设，，是曲线上不同于、的任意一点．求证：直线、的斜率之积为定值．

7 . 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线不过原点且与坐标轴不平行，直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积是定值.

8 . 已知椭圆的左、右顶点分别为、，点为椭圆上异于、的一点，直线和直线的斜率之积为，则（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 已知椭圆的左焦点F在直线上，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于A、C两点，线段的中点为M，射线与椭圆交于点P，点O为的重心，探求面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.

10 . 已知，是椭圆：的左、右焦点，恰好与抛物线的焦点重合，过椭圆的左焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，直线：，过斜率为的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，若直线，，的斜率分别是，，，求证：无论取何值，总满足是和的等差中项．