1 . 如图所示数阵，第
行共有
个数，第
行的第1个数为
，第2个数为
，第
个数为
.规定：
.
(2)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列
，设数列的前
项和为
，是否存在正整数
，使得对任意正整数，
恒成立？如存在，请求出的最大值；如不存在，请说明理由.
行共有个数，第行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：.
(2)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列
，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得对任意正整数，恒成立？如存在，请求出的最大值；如不存在，请说明理由.
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2 . 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制．k进制的基数就是k．我们日常生活中最熟悉、最常用的就是十进制．例如，数3721也可以表示为：
一般地，如果k是大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为
．其中
．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：
，如果不加下标就默认是十进制．
(1)令集合
，将B中的元素按从大到小的顺序排列，则第100个数为多少？
(2)若
，记
为整数n的二进制表达式中0的个数，如
，求
的值．（用数字作答）
(3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出所有的k进制数；如果不能，请说明理由．
一般地，如果k是大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为．其中．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：，如果不加下标就默认是十进制．(1)令集合
，将B中的元素按从大到小的顺序排列，则第100个数为多少？(2)若
，记为整数n的二进制表达式中0的个数，如，求的值．（用数字作答）(3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出所有的k进制数；如果不能，请说明理由．
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名校
3 . 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内.
(1)共有多少种不同的放法?
(2)每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有多少种?
(3)将4个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种?
(1)共有多少种不同的放法?
(2)每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有多少种?
(3)将4个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种?
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4 . 北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号
遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.为了某次航天任务，准备从7名预备队员中（其中男4人，女3人）中选择4人作为航天员参加该次任务.
(1)若至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有多少种选法？（结果用数字作答）
(2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答）
遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.为了某次航天任务，准备从7名预备队员中（其中男4人，女3人）中选择4人作为航天员参加该次任务.(1)若至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有多少种选法？（结果用数字作答）
(2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答）
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名校
解题方法
5 . “熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量
对应取值
的概率为
，其单位为bit的熵为
，且
．（当
，规定
．）
(1)若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为
，正面向上的次数为，分别比较
与
时对应
的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义；
(2)若拋掷一枚质地均匀 的硬币次，设表示正面向上的总次数，
表示第次反面向上的次数（0或1）．
表示正面向上
次且第次反面向上
次的概率，如
时，
．对于两个离散的随机变量
，其单位为bit的联合熵记为
，且
．
（ⅰ）当时，求
的值；
（ⅱ）求证：
．
对应取值的概率为，其单位为bit的熵为，且．（当，规定．）(1)若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为
，正面向上的次数为，分别比较与时对应的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义；(2)若拋掷一枚
次，设表示正面向上的总次数，表示第次反面向上的次数（0或1）．表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如时，．对于两个离散的随机变量，其单位为bit的联合熵记为，且．（ⅰ）当
时，求的值；（ⅱ）求证：
．
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2024-05-13更新
|
1233次组卷
|
2卷引用：江苏省南通、扬州、泰州七市2024届高三第三次调研测试数学试题
解题方法
6 . （1）计算
；
（2）已知
，求
的值．
；（2）已知
，求的值．
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7 . 已知
，并补充规定
.
(1)化简：
.
(2)在数列
中，
，前项和满足
.
①求的通项公式；
②设
，求数列
的前项和
.
，并补充规定.(1)化简：
.(2)在数列
中，，前项和满足.①求
的通项公式；②设
，求数列的前项和.
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名校
8 . 斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，
，
（
，
），已知
，则集合A中的元素个数可表示为
，又有
且
．
(1)求集合A中奇数元素的个数，不需说明理由；并求出集合B中所有元素之积为奇数的概率；
(2)求集合B中所有元素之和为奇数的概率．
(3)取其中的6个数1，2，3，5，13，21，任意排列，若任意相邻三数之和都不能被3整除，求这样的排列的个数．（如排列1，2，3，5，13，21中，相邻三数如“1，2，3”（“3，5，13”、“5，13，21”），和能被3整除，则此排列不合题意）
，，（，），已知，则集合A中的元素个数可表示为，又有且．(1)求集合A中奇数元素的个数，不需说明理由；并求出集合B中所有元素之积为奇数的概率；
(2)求集合B中所有元素之和为奇数的概率．
(3)取其中的6个数1，2，3，5，13，21，任意排列，若任意相邻三数之和都不能被3整除，求这样的排列的个数．（如排列1，2，3，5，13，21中，相邻三数如“1，2，3”（“3，5，13”、“5，13，21”），和能被3整除，则此排列不合题意）
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9 . （1）已知
，计算：
；
（2）解方程：
．
（3）解不等式：
．
，计算：；（2）解方程：
．（3）解不等式：
．
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名校
解题方法
10 . 在
的展开式中（其中
，
，
，
叫做三项式系数），当
，2，3，，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：
的展开式中，
的系数为75，求实数a的值；
(2)求
的值（用组合数作答）．
的展开式中（其中，，，叫做三项式系数），当，2，3，，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：
的展开式中，的系数为75，求实数a的值；(2)求
的值（用组合数作答）．
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