1 . 某中学开展劳动实习，学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子元件．已知学生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是p (0＜p＜1)，且各个电子元件正常工作的事件相互独立．现要检测k (k∈N^*)个这样的电子元件，并将它们串联成元件组进行筛选检测，若检测出元件组正常工作，则认为这k个电子元件均正常工作；若检测出元件组不能正常工作，则认为这k个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作，须再对这k个电子元件进行逐一检测．
（1）记对电子元件总的检测次数为X，求X的概率分布和数学期望；
（2）若p＝0.99，利用(1－α)^β (0＜α <<1，β∈N^*)的二项展开式的特点，估算当k为何值时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时总的检测次数；
（3）若不对生产出的电子元件进行筛选检测，将它们随机组装入电子系统中，不考虑组装时带来的影响．已知该系统配置有2n－1(n∈N^*)个电子元件，如果系统中有多于一半的电子元件正常工作，该系统就能正常工作．将系统正常工作的概率称为系统的可靠性，现为了改善该系统的性能，拟向系统中增加两个电子元件．试分析当p满足什么条件时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性？

2 . 设，其中，．
（1）若，写出二项展开式第四项；
（2）若，求出的值．

3 . 已知
（1）求的值；
（2）求的值．

4 . 已知数列的通项公式为，，记.
（1）求，的值；
（2）是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

5 . 已知二项式.
（1）若它的二项式系数之和为.求展开式中二项式系数最大的项；
（2）若，求二项式的值被除的余数.

6 . 已知数列的通项公式为，，记
（1）求，的值；
（2）求证：对任意的正整数n，为定值.

7 . 设，若展开式中第4项与第5项二项式系数最大．
求；
求最大的系数；
是否存在正整数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

8 . 已知 ，的展开式中x的系数为11．
(1)求的系数取最小值时n的值；
(2)当的系数取得最小值时，求展开式中x的奇次幂项的系数之和．

9 . 已知(－)ⁿ的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14∶3，求展开式中的常数项．

10 . 已知展开式的各项依次记为.设函数.
（1）若的系数依次成等差数列，求正整数的值；
（2）求证：，恒有