(1)讨论的单调性;
(2)若函数有两个极值点,曲线上两点,连线斜率记为k,求证:;
(3)盒子中有编号为1~100的100个小球(除编号外无区别),有放回的随机抽取20个小球,记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p,求证:.
(1)当时,求球又回到甲手中的概率;
(2)当时,记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量,求的分布列与数学期望;
(3)记,求证:数列从第3项起构成等比数列,并求.
(假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立,且均选择上表中的一个高速出口下高速)。
项目 | 斋堂出口 | 清水出口 | 安家庄出口 | 雁翅出口 | 火村出口 | 西台子出口 |
上班 | 40 | 8 | 2 | 5 | 3 | 2 |
旅游 | 30 | 20 | 10 | 10 | 12 | 8 |
探亲 | 16 | 10 | 10 | 5 | 5 | 4 |
(1)从被调查的居民中随机选1人,求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率;
(2)用上表样本的频率估计概率,从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人,从出行旅游的人中随机抽取1人,这三人中从斋堂出口下高速的人数记为,求的分布列和数学期望;
(3)用上表样本的频率估计概率,从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人,用 “”表示此人从斋堂出口下高速,“”表示此人不从斋堂出口下高速:从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人,用 “”表示此人从斋堂出口下高速,“”表示此人不从斋堂出口下高速,写出方差 的大小关系. (结论不要求证明).
(1)求,;
(2)若存在实数a,b,c,对任意的不小于4的正整数n,都有,试确定a,b,c的值,并证明上述递推公式;
(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章,则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少?
某次实验中,假设原始信息的单光子的偏振状态0,1,2,3等可能地出现,原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系.
原始信息的单光子的偏振状态 | 0 | 1 | 2 | 3 |
解密信息的单光子的偏振状态 | 0,1,2 | 0,1,3 | 1,2,3 | 0,2,3 |
(1)若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1,求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率;
(2)若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1,设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为,求的分布列和数学期望;
(3)已知发送者连续三次发送信息,窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为,有两种偏振状态的可能性为,有三种偏振状态的可能性为,试比较的大小关系.(结论不要求证明)
行政区 | 东城区 | 西城区 | 朝阳区 | 丰台区 | 石景山区 | 海淀区 | 门头沟区 | 房山区 |
城镇人口(万人) | 70.4 | 110 | 343.3 | 199.9 | 56.3 | 305.4 | 36.2 | 102.6 |
乡村人口(万人) | 0 | 0 | 0.9 | 1.3 | 0 | 7 | 3.4 | 28.5 |
行政区 | 通州区 | 顺义区 | 昌平区 | 大兴区 | 怀柔区 | 平谷区 | 密云区 | 延庆区 |
城镇人口(万人) | 137.3 | 87.8 | 185.9 | 161.6 | 32.8 | 27.9 | 34.9 | 20.5 |
乡村人口(万人) | 47 | 44.7 | 40.8 | 37.5 | 11.1 | 17.7 | 17.7. | 13.9 |
(2)若随机从中心城区选取1个,非中心城区选取2个行政区,记选出的3个区中2022年常住人口超过100万人的行政区的个数为,求的分布列及数学期望;
(3)记2022年这16个区的常住人口、城镇人口、乡村人口的方差分别为,,.试判断,,的大小关系.(结论不要求证明)
环数 | 6环 | 7环 | 8环 | 9环 | 10环 |
甲的射出频数 | 1 | 1 | 10 | 24 | 24 |
乙的射出频数 | 3 | 2 | 10 | 30 | 15 |
丙的射出频数 | 2 | 4 | 10 | 18 | 26 |
(1)若丙进入决赛,试判断甲是否进入决赛,说明理由;
(2)若甲、乙各射击2次,估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率;
(3)甲、乙、丙各射击10次,用分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于环的次数,其中.写出一个的值,使.(结论不要求证明)
8 . 某游戏设置了两套规则,规则A:抛掷一颗骰子n次,若n次结果向上的点数之和大于2时,继续下一次抛掷,否则停止抛掷;规则B:抛掷一颗骰子一次,结果向上的点数大于2时,继续下一次抛掷,否则停止抛掷(最多抛掷次,即抛掷到次时无条件终止).
(1)若执行规则A,求抛掷次数恰为1次的概率;
(2)若执行规则B,证明:抛掷次数的数学期望不大于3.
年份 | |||||||||
产量万台 | |||||||||
销量万台 |
(1)从年中随机取年,求工业机器人的产销率大于的概率;
(2)从年这年中随机取年,这年中有年工业机器人的产量不小于,有年工业机器人的销量不小于.记,求的分布列和数学期望;
(3)从哪年开始的连续年中随机取年,工业机器人的产销率超过的概率最小.结论不要求证明
1月 | 2月 | 3月 | 4月 | 5月 | 6月 | 7月 | 8月 | 9月 | 10月 | 11月 | 12月 | |
A 地区 (单位:万辆) | 29.4 | 39.7 | 54.3 | 49.4 | 56.2 | 65.4 | 61.1 | 68.2 | 70.2 | 71.9 | 77.1 | 89.2 |
B 地区 (单位:万辆) | 7.8 | 8.8 | 8.1 | 8.3 | 9.2 | 10.0 | 9.7 | 9.9 | 10.4 | 9.4 | 8.9 | 10.1 |
月销量比 | 3.8 | 4.5 | 6.7 | 6.0 | 6.1 | 6.5 | 6.3 | 6.9 | 6.8 | 7.6 | 8.7 | 8.8 |
月销量比是指:该月 A 地区电动汽车市场的销售量与B 地区的销售量的比值(保留一位小数).
(1)在2023年2月至12月中随机抽取1个月,求 A 地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的概率;(2)从2023 年1月至12月中随机抽取3个月,求在这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1个月的月销量比低于5的概率;
(3)记2023年1月至12月 A,B 两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为,,试判断与的大小.(结论不要求证明)