名校
1 . 某学校举办数学建模知识竞赛,每位参赛者要答3道题,第一题分值为40分,第二、三题分值均为30分,若答对,则获得题目对应分值,若答错,则得0分,参赛者累计得分不低于70分即可获奖.已知甲答对第一、二、三题的概率均为
,乙答对第一、二、三题的概率分别为
,
,
,且甲、乙每次答对与否互不影响.
(1)求甲的累计得分
的分布列和期望;
(2)在甲、乙两人均获奖的条件下,求甲的累计得分比乙高的概率.
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(1)求甲的累计得分
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(2)在甲、乙两人均获奖的条件下,求甲的累计得分比乙高的概率.
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名校
解题方法
2 . 某考试分为笔试和面试两个部分,每个部分的成绩分为A,B,C三个等级,其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分.甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为
,
,
,在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为
,
,
,甲笔试的结果和面试的结果相互独立.
(1)求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率;
(2)求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望.
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(1)求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率;
(2)求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望.
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680次组卷
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6卷引用:重庆市第四十九中学校、江津第二中学校等九校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题
解题方法
3 . 某学校为了丰富学生的课外活动,利用了课余时间举行了课外趣味投篮.在投篮活动中,每位学生投篮若干次,每一次投篮的计分方法如下:第1次投篮,投中得2分,不中得1分,从第2次投篮开始,投中则获得上一次投篮所得分数两倍的得分,不中得1分,学生
参加了投篮活动,该同学每次投篮投中的概率都为
,每次投篮是否投中互不影响.
(1)设
表示学生
前2次投篮的得分之和,求
的分布列;
(2)记学生
第
次投篮所得分数
的数学期望为
,求
,
,
,并猜想当
时,
与
之间的关系式.(不必写推导过程)
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(1)设
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(2)记学生
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名校
4 . 为应对新一代小型无人机武器,某研发部门开发了甲、乙两种不同的防御武器,现对两种武器的防御效果进行测试.每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击,每次攻击击中目标与否相互独立,每次测试都会使用性能一样的全新无人机.对于甲种武器,每次攻击击中目标无人机的概率均为
,且击中一次目标无人机坠毁的概率为
,击中两次目标无人机必坠毁;对于乙种武器,每次攻击击中目标无人机的概率均为
,且击中一次目标无人机坠毁的概率为
,击中两次目标无人机坠毁的概率为
,击中三次目标无人机必坠毁.
(1)若
,分别使用甲、乙两种武器进行一次测试.
①求甲种武器使目标无人机坠毁的概率;
②记甲、乙两种武器使目标无人机坠毁的数量为
,求
的分布列与数学期望.
(2)若
,且
,试判断在一次测试中选用甲种武器还是乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大?并说明理由.
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(1)若
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①求甲种武器使目标无人机坠毁的概率;
②记甲、乙两种武器使目标无人机坠毁的数量为
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(2)若
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600次组卷
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3卷引用:重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期第二阶段性学业质量联合调研抽测(5月)数学试题
名校
解题方法
5 . 为丰富和活跃学校教师业余文化生活,提高教师身体素质,展现教师自我风采,增进教师沟通交流,阳泉一中举办了2024年度第一届青年教师团建暨羽毛球比赛活动,已知其决赛在小胡和小张之间进行,每场比赛均能分出胜负,已知该学校为本次决赛提供了1000元奖金,并规定:若其中一人赢的场数先达到4场,则比赛终止,同时该人获得全部奖金;若比赛意外终止时无人先赢4场,则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两人分配奖金.若每场比赛小胡赢的概率为
,每场比赛相互独立.
(1)在已进行的5场比赛中小胡赢了3场,若比赛继续进行到有人先赢4场,求小胡赢得全部奖金的概率;
(2)若比赛进行了5场时终止(含自然终止与意外终止),记小胡获得奖金数为
,求
的分布列和数学期望.
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(1)在已进行的5场比赛中小胡赢了3场,若比赛继续进行到有人先赢4场,求小胡赢得全部奖金的概率;
(2)若比赛进行了5场时终止(含自然终止与意外终止),记小胡获得奖金数为
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解题方法
6 . 正三棱柱
的底面边长为1,侧棱长为2,一只蚂蚁从
点出发,每次沿着该三棱柱的一条棱的端点爬行到另一个端点,若它选择三个方向爬行的概率相等,且每次爬行都相互独立.
(1)记这只蚂蚁经过4次爬行后,其爬行的总路程为
,求
的分布列和数学期望;
(2)求这只蚂蚁经过5次爬行后,停留在平面
内的概率.
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(1)记这只蚂蚁经过4次爬行后,其爬行的总路程为
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(2)求这只蚂蚁经过5次爬行后,停留在平面
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名校
7 . 已知5只小白鼠中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的小白鼠.血液化验结果呈阳性的即为患病,呈阴性即为未患病.下面是两种化验方法:
方案甲:逐个化验,直到能确定患病小白鼠为止.
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病的小白鼠为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
若随机变量
,
分别表示用方案甲、方案乙进行检测所需的检测次数.
(1)求
,
能取到的最大值和其对应的概率;
(2)为使检测次数的期望最小,同学们应该选取甲方案还是乙方案?并说明理由.
方案甲:逐个化验,直到能确定患病小白鼠为止.
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病的小白鼠为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
若随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d388f32e318b0c7f2d9d10a5c6525b15.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/90f1ce5bbcc57f96d99d2c4f27cc2e42.png)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d388f32e318b0c7f2d9d10a5c6525b15.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/90f1ce5bbcc57f96d99d2c4f27cc2e42.png)
(2)为使检测次数的期望最小,同学们应该选取甲方案还是乙方案?并说明理由.
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解题方法
8 . 某班有10名同学计划参加学科竞赛,每个同学只参加一个科目的学科竞寒,在这10名同学中,4名同学计划参加物理竞寒,其余6名同学计划参加化学竞赛,现从这10名同学中随机选取3名为班级做学法指导(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学中参加竞寒科目一样的概率;
(2)设
为选出的3名同学中参加物理竞赛的人数,求随机变量
的分布列.
(1)求选出的3名同学中参加竞寒科目一样的概率;
(2)设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
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名校
9 . 水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛,每轮比赛都采用3局2胜制(即先贏2局者胜),首轮由甲乙两人开始,丙轮空;第二轮由首轮的胜者与丙之间进行,首轮的负者轮空,依照这样的规则无限地继续下去.
(1)求甲在第三轮获胜的条件下,第二轮也获胜的概率;
(2)求第
轮比赛甲轮空的概率;
(3)按照以上规则,求前六轮比赛中甲获胜局数的期望.
(1)求甲在第三轮获胜的条件下,第二轮也获胜的概率;
(2)求第
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
(3)按照以上规则,求前六轮比赛中甲获胜局数的期望.
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名校
10 . 某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额(单位:百元)进行了调查,如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图.若将日销售额在
的加盟店评定为“四星级”加盟店,日销售额在
的加盟店评定为“五星级”加盟店.
(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额
,其中
近似为(1)中的样本平均数,根据
的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数(结果精确到整数);(参考数据:若
,则
,
,
.)
(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研,现从这些加盟店中随机抽取3个,设
为抽取的“五星级”加盟店的个数,求
的概率分布列与数学期望.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d2681d14091ebc0cbca6f1f0319b6f8f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4573cd4180755d1c3d597ef7937e50fb.png)
(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e2b519628534657aa24eec102d6318fe.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1100379a4385b9ce064847bc21760adc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/67802f8f03539d71c6b5c9b8d125c748.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/078df63aeb773d38d4bb320aedb87e68.png)
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(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研,现从这些加盟店中随机抽取3个,设
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