1 . 在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中.而在维空间中，以单位立方体的顶点坐标可表示为维坐标，其中.现有如下定义：在维空间中，，两点的曼哈顿距离为
(1)在3维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为1的概率；
(2)在维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离
（i）求出的分布列与期望；
（ii）证明：随机变量的方差小于.

2 . 某足球训练基地有编号为的位学员，在一次射门考核比赛中，学员有两次射门机会.每人第一次射中的概率为第二次射中的概率为假设每位学员射门过程是相互独立的，比赛规则如下：
①按编号从小到大的顺序进行，第1号学员开始第1轮比赛，先第一次射门；
②若第号学员第一次射门未射中，则第轮比赛失败，由第号学员继续比赛；
③若第号学员第一次射门射中，再第二次射门，若该学员第二次射门射中，则比赛在第轮结束，该学员第二次射门未射中，则第轮比赛失败，由第号学员继续比赛；
④若比赛进行到了第轮，则不管第号学员的射门情况，比赛结束.
(1)当时，设随机变量表示3名学员在第轮比赛结束，求随机变量的分布列；
(2)设随机变量表示名学员在第轮比赛结束.
①求随机变量的分布列；
②求证：单调递增，且小于3.

4 . 近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；
(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；
(3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值.
参考数据：.

8 . 某单位有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．已知第1周选择使用A密码．
(1)求第3周使用A密码的概率；
(2)求第周使用A密码的概率；
(3)记前周中使用B密码的次数为，求．

9 . 设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.
(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；
(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量表示最后摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望.