解题方法
1 . 一个不透明的袋子中装有大小、质地相同的40个小球,其中10个红球,10个黄球,20个绿球,依次随机抽取小球,每次只取1个小球,完成下列问题:
(1)若取出的小球不再放回,
①求最后取完的小球是黄球的概率;
②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率;
③设随机变量
为最后一个红球被取出时所需的取球次数,求
;
(2)若取出的小球又放回袋中,直到取到红球就停止取球,且最多取
次球,设随机变量
为取球次数,证明:
.
(1)若取出的小球不再放回,
①求最后取完的小球是黄球的概率;
②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率;
③设随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5bf3baba074e8aeb6f3ea117865bbd1b.png)
(2)若取出的小球又放回袋中,直到取到红球就停止取球,且最多取
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a829fdd8ec0f3b7ede883cf2c3e53b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d217815119d30cc42255b88b89238022.png)
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2024·全国·模拟预测
2 . 甲、乙两名小朋友,每人手中各有3张龙年纪念卡片,其中甲手中的3张卡片为1张金色和2张银色,乙手中的3张卡片都是金色的,现在两人各从自己的卡片中随机取1张,去与对方交换,重复
次这样的操作,记甲手中银色纪念卡片
张,恰有2张银色纪念卡片的概率为
,恰有1张银色纪念卡片的概率为
.
(1)求
的值.
(2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张,求首次出现这种情况的概率
.
(3)记
.
(i)证明数列
为等比数列,并求出
的通项公式.
(ii)求
的分布列及数学期望.(用
表示)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3282e5fde4ae53fcb1bb072a685304c9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3ffb021aa7d5a5c2f0691e337caad624.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0ce603aa3abcb61750d2191aaa13dddc.png)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c7f66b7e38f44f8cd5d48b3aa24a20fc.png)
(2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张,求首次出现这种情况的概率
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
(3)记
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9131abf93295537bbc0c54a8c42e88e2.png)
(i)证明数列
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4c895d4ce5ce82ef9b311b9369b4de11.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
(ii)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3282e5fde4ae53fcb1bb072a685304c9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
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名校
3 . 甲乙两人参加知识竞赛活动,比赛规则如下:两人轮流随机抽题作答,答对积1分且对方不得分,答错不得分且对方积1分,然后换对方抽题作答,直到有领先2分者晋级,比赛结束.已知甲答对题目的概率为
,乙答对题目的概率为P,答对与否相互独立,抽签决定首次答题方,已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为
.记甲乙两人的答题总次数为
.
(1)求P;
(2)当
时,求甲得分X的分布列及数学期望;
(3)若答题的总次数为n时,甲晋级的概率为
,证明:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7294f5ae2a24ff42e84cd9773b2a7287.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eac97e6740365c85ad857aff85cefbe5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1d3b5b9038b39e659fdade4a5063edad.png)
(1)求P;
(2)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/38c9d7f7f9a3e9ec476f5cf7fda97c88.png)
(3)若答题的总次数为n时,甲晋级的概率为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5bb61ad9ef2dcb36f21d5979e21cfe10.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3b63edd22b23f84960e7c5e07102e0b9.png)
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2024-06-18更新
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275次组卷
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2卷引用:山东省菏泽市2024届高三下学期二模数学试题
名校
4 . 设集合
为
的非空子集,随机变量X,Y分别表示取到子集
中的最大元素和最小元素的数值.
(1)若
的概率为
,求
;
(2)若
,求
且
的概率;
(3)求随机变量
的均值
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5a6a4cff8424ced7841221e2d54d95d4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e6c4b25a0b76fba785d5769c08714b15.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/41ab109ec88d6f3d24b2f01ca77e7038.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fe08722cf9300fe188dbbb71989c06c9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e32a2f594955e456f0fddad1e090bb04.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e8b3576b4d98a5b4ddc380ddaa0fa281.png)
(3)求随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ec9f6ea6346066054b5c722763d6b026.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a4f8506fbcb1fae930e1503065b9327a.png)
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2024-06-16更新
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113次组卷
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2卷引用:河南省信阳市新县高级中学2024届高三数学考前仿真冲刺卷
5 . 11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成
平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为
,乙发球时甲得分的概率为
,各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成
平后,甲先发球.
(1)求再打2球该局比赛结束的概率;
(2)两人又打了
个球该局比赛结束,求
的数学期望
;
(3)若将规则改为“打成
平后,每球交换发球权,先连得两分者获胜”,求该局比赛甲获胜的概率.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/db3c3ffbae2f4ed36909dca6aecbad18.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf31876698721a199c7c53c6b320aa86.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f89eef3148f2d4d09379767b4af69132.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/db3c3ffbae2f4ed36909dca6aecbad18.png)
(1)求再打2球该局比赛结束的概率;
(2)两人又打了
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5bf3baba074e8aeb6f3ea117865bbd1b.png)
(3)若将规则改为“打成
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/db3c3ffbae2f4ed36909dca6aecbad18.png)
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名校
6 . 已知甲口袋有
个红球和2个白球,乙口袋有
个红球和2个白球,小明从甲口袋有放回地连续摸球2次,每次摸出一个球,然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次,每次摸出一个球.
(1)当
时,
(i)求小明4次摸球中,至少摸出1个白球的概率;
(ii)设小明4次摸球中,摸出白球的个数为
,求
的数学期望;
(2)当
时,设小明4次摸球中,恰有3次摸出红球的概率为
,则当
为何值时,
最大?
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0272c60cbea81dd30c4b5690ed9fd31c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6fc0db1f5bc1c43e4bd7231c7fe63d11.png)
(1)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e8cc04da8dc0c2ae5bea4b8904567fd5.png)
(i)求小明4次摸球中,至少摸出1个白球的概率;
(ii)设小明4次摸球中,摸出白球的个数为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(2)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b0a4480988244a9d04ec293975db2cc0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
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7 . 2023年10月7日,杭州第19届亚运会女子排球中国队以3:0战胜日本队夺得冠军,这也是中国女排第9个亚运冠军,她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神,某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞,组建了一支女子排球队,其中主攻手2人,副攻手2人,接应手1人,二传手1人,自由人1人.现从这7人中随机抽取3人参与传球训练
(1)求抽到甲参与传球训练的概率;
(2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为
,求
的分布列及期望;
(3)若恰好抽到甲,乙,丙3人参与传球训练,先从甲开始,甲传给乙、丙的概率均为
,当乙接到球时,乙传给甲、丙的概率分别为
,当丙接到球时,丙传给甲、乙的概率分别为
,假设球一直没有掉地上,求经过n次传球后甲接到球的概率.
(1)求抽到甲参与传球训练的概率;
(2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
(3)若恰好抽到甲,乙,丙3人参与传球训练,先从甲开始,甲传给乙、丙的概率均为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f89eef3148f2d4d09379767b4af69132.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d0d02b811bb9c27723442c470a4bcd6e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d0d02b811bb9c27723442c470a4bcd6e.png)
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解题方法
8 . 甲、乙两同学进行射击比赛,已知甲射击一次命中的概率为
,乙射击一次命中的概率为
,比赛共进行
轮次,且每次射击结果相互独立,现有两种比赛方案,方案一:射击
次,每次命中得2分,未命中得0分;方案二:从第一次射击开始,若本次命中,则得6分,并继续射击;若本次未命中,则得0分,并终止射击.
(1)设甲同学在方案一中射击
轮次总得分为随机变量是
,求
;
(2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛,试确定
的最小值,使得当
时,甲的总得分期望大于乙.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f89eef3148f2d4d09379767b4af69132.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf31876698721a199c7c53c6b320aa86.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
(1)设甲同学在方案一中射击
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/93d0f3799612b81e85b87241ec8eee68.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f8c806111378e585fc81cc425e10d833.png)
(2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛,试确定
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a5d7d3b6b63fe5c24c3907b7a8eaa3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/65fe91daf4622edddc49cf828e132432.png)
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2024-05-14更新
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458次组卷
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2卷引用:黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期三模联考数学试卷
名校
解题方法
9 . 某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼,也可选择不锻炼,一天最多锻炼一次,一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为
,每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为
,已知
的分布列如下:(其中
)
(1)记事件
表示王同学假期三天内去运动场锻炼
次
,事件
表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当
时,试根据全概率公式求
的值;
(2)是否存在实数
,使得
?若存在,求
的值:若不存在,请说明理由;
(3)记
表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”,
表示事件“王同学去甲运动场锻炼”,
.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率,比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大,证明:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f89eef3148f2d4d09379767b4af69132.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e362ab25e6f8719efd1b515094b69561.png)
![]() | 0 | 1 | 2 | 3 |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e819b87f90651d89fcd258c276294e43.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c05b9832b09731a574d4a4adf7448de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1eef5855dd54b607a61027e0b212cd61.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f970f380a12c843bb4a74ff34a15b2ac.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/108ab49f370919e730e3567070deee65.png)
(2)是否存在实数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/667df0f959f5626681d6d9aecaf05be1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
(3)记
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a5d7d3b6b63fe5c24c3907b7a8eaa3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6efafab9402e42c2212489d7b9408c4b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/12a3dad8b84d4b66d6f4a6f60adcc79e.png)
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名校
解题方法
10 . 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中,粒子从原点出发,每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位,且向四个方向移动的概率均为
例如在1秒末,粒子会等可能地出现在
四点处.
(1)设粒子在第2秒末移动到点
,记
的取值为随机变量
,求
的分布列和数学期望
;
(2)记第
秒末粒子回到原点的概率为
.
(i)已知
求
以及
;
(ii)令
,记
为数列
的前
项和,若对任意实数
,存在
,使得
,则称粒子是常返的.已知
证明:该粒子是常返的.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c77a22740bd1ad5f5979e4579cb177d0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/df042a9ff8ec15bdd6b8cb8f8d219988.png)
(1)设粒子在第2秒末移动到点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/82a79a33a83a7ba57a34b5093d1d1d02.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b88584cf1df43e28d03592c7998b1653.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5bf3baba074e8aeb6f3ea117865bbd1b.png)
(2)记第
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3ffb021aa7d5a5c2f0691e337caad624.png)
(i)已知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2393d1f6ec816a8501f6ff806f072904.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d19272b854a429ad5c2f2c90a7e535b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/04a027db42236354a609d4c9b480175a.png)
(ii)令
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5f2f96ec07da8f7737c4d5d4b5b89b31.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/08eb71ecf8d733b6932f4680874dbbf3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/034ba25825c13725931c483aa47c9363.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2480f87a11c4cd450bc9454ea7276722.png)
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2024-04-24更新
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2024次组卷
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5卷引用:山东省济南市名校考试联盟2024届高三下学期4月高考模拟数学试题
山东省济南市名校考试联盟2024届高三下学期4月高考模拟数学试题(已下线)压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题(已下线)专题02 高二下期末真题精选(压轴题 )-高二期末考点大串讲(人教A版2019)(已下线)概率、随机变量及其分布-综合测试卷B卷