1 . 已知无穷数列是首项为1,各项均为正整数的递增数列,集合.若对于集合A中的元素k,数列中存在不相同的项,使得,则称数列具有性质,记集合数列具有性质.
(1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B;
(2)若集合A与集合B都是非空集合,且集合A中的最小元素为t,集合B中的最小元素为s,当时,证明:;
(3)若满足,证明:.
(1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B;
(2)若集合A与集合B都是非空集合,且集合A中的最小元素为t,集合B中的最小元素为s,当时,证明:;
(3)若满足,证明:.
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2 . ,求所有的,使得中有无穷多项为正整数.
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解题方法
3 . 甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象,设棱长为,若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形,定义随机变量的值为其三角形的面积;若乙从正四棱锥(和甲研究的四棱锥一样)的8条棱中任取2条,定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小(弧度制);若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条,定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小(弧度制).
(1)比较三种随机变量的数学期望大小;(参考数据)
(2)现单独研究棱长,记(且),其展开式中含项的系数为,含项的系数为.
①若,对成立,求实数,,的值;
②对①中的实数,,用数字归纳法证明:对任意且,都成立.
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4 . 将数列从首项开始从左到右依次排列,得到数组,,,…,,然后执行以下操作:将移到右侧,然后剔除,再将移到右侧,然后剔除,继续以上操作,即将最左边的数移到最右边,然后剔除新数组最左边的数,直到剩下最后一个数.若令此操作为,则,且确定的值可确定的值,如,,.
(1)证明:;
(2)证明:;
(3)若,证明:.
(1)证明:;
(2)证明:;
(3)若,证明:.
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解题方法
5 . 给定数列,称为的差数列(或一阶差数列),称数列的差数列为的二阶差数列……
(1)求的二阶差数列;
(2)用含的式子表示的阶差数列,并求其前项和.
(1)求的二阶差数列;
(2)用含的式子表示的阶差数列,并求其前项和.
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解题方法
6 . 数列满足且,,,构成等差数列.
(1)试求出所有三元实数组(α,β,γ),使得为等比数列.
(2)若,求的通项公式.
(1)试求出所有三元实数组(α,β,γ),使得为等比数列.
(2)若,求的通项公式.
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解题方法
7 . 在数列中,若,且.
(1)试写出数列的前六项.
(2)求出中另两个可被5整除的项,并指出分别是第几项.
(3)指出中可被5整除的项出现的规律,并说明理由.
(4)能否取其他的自然数的值,使数列不出现5的倍数?为什么?
(5)取怎样的自然数,才使中不出现5的倍数?试找出其中取数规律,并说明理由.
(1)试写出数列的前六项.
(2)求出中另两个可被5整除的项,并指出分别是第几项.
(3)指出中可被5整除的项出现的规律,并说明理由.
(4)能否取其他的自然数的值,使数列不出现5的倍数?为什么?
(5)取怎样的自然数,才使中不出现5的倍数?试找出其中取数规律,并说明理由.
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解题方法
8 . 已知.
(1)设展开式中项的系数为,求;
(2)设展开式中项的系数为,求证;
(3)是否存在常数使对一切恒成立?
(1)设展开式中项的系数为,求;
(2)设展开式中项的系数为,求证;
(3)是否存在常数使对一切恒成立?
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9 . 等差数列中,公差是自然数,等比数列中,,.现有数据①2,②3,③4,④5.当中所有的项均为数列中的项时,可以取现有数据中的哪一个,为什么?有没有其他自然数也可以作为公差?
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解题方法
10 . 对于数列定义为的差数列,为的累次差数列.如果的差数列满足,,则称是“绝对差异数列”;如果的累次差数列满足,,则称是“累差不变数列”.
(1)设数列:2,4,8,10,14,16;:6,1,5,2,4,3,判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”,直接写出你的结论;
(2)若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”,且的前两项,,(为大于0的常数),求数列的通项公式;
(3)已知数列:是“绝对差异数列”,且.证明:的充要条件是.
(1)设数列:2,4,8,10,14,16;:6,1,5,2,4,3,判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”,直接写出你的结论;
(2)若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”,且的前两项,,(为大于0的常数),求数列的通项公式;
(3)已知数列:是“绝对差异数列”,且.证明:的充要条件是.
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