1 . 我们把(其中)称为一元次多项式方程.代数基本定理:任何一元次复系数多项式方程(即为实数)在复数集内至少有一个复数根;由此推得,任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根(重根按重数计算).那么我们由代数基本定理可知:任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式,转化为个一元一次多项式的积.即,其中,为方程的根.进一步可以推出:在实系数范围内(即为实数),方程有实数根,则多项式必可分解因式.例如:观察可知,是方程的一个根,则一定是多项式的一个因式,即,由待定系数法可知,.
(1)在复数集内解方程:;
(2)设,其中,且.
(i)分解因式:;
(ii)记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证:当时,.
(1)在复数集内解方程:;
(2)设,其中,且.
(i)分解因式:;
(ii)记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证:当时,.
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2 . 阅读以下材料并回答问题:
①单位根与本原单位根:在复数域,对于正整数,满足的所有复数称为次单位根,其中,满足对任意小于的正整数,都有,则称这种复数为次本原单位根.例如,时,存在四个4次单位根,,因为,,因此只有两个4次本原单位根;
②分圆多项式:对于正整数,设次本原单位根为,则多项式称为次分圆多项式,记为;例如;
回答以下问题:
(1)直接写出6次单位根,并指出哪些为6次本原单位根(无需证明);
(2)求出,并计算,由此猜想的结果,(将结果表示为的形式)(猜想无需证明);
(3)设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为,两个4次本原单位根在复平面上对应的点为,复平面上一点所对应的复数满足,求的取值范围.
①单位根与本原单位根:在复数域,对于正整数,满足的所有复数称为次单位根,其中,满足对任意小于的正整数,都有,则称这种复数为次本原单位根.例如,时,存在四个4次单位根,,因为,,因此只有两个4次本原单位根;
②分圆多项式:对于正整数,设次本原单位根为,则多项式称为次分圆多项式,记为;例如;
回答以下问题:
(1)直接写出6次单位根,并指出哪些为6次本原单位根(无需证明);
(2)求出,并计算,由此猜想的结果,(将结果表示为的形式)(猜想无需证明);
(3)设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为,两个4次本原单位根在复平面上对应的点为,复平面上一点所对应的复数满足,求的取值范围.
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名校
3 . 已知关于的方程,其中a,b为实数.
(1)设(是虚数单位)是方程的根,求a,b的值;
(2)证明:当,且时,该方程无实数根.
(1)设(是虚数单位)是方程的根,求a,b的值;
(2)证明:当,且时,该方程无实数根.
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2023-09-08更新
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212次组卷
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6卷引用:江西省新余市第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题
江西省新余市第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题(已下线)第06讲 复数的四则运算-【寒假预科讲义】(人教A版2019必修第一册)(已下线)专题7.6 复数全章八大压轴题型归纳(拔尖篇)--举一反三系列-(已下线)第七章 复数(单元重点综合测试)-单元速记·巧练(人教A版2019必修第二册)(已下线)第七章 复数章末重点题型复习-同步精品课堂(人教A版2019必修第二册)(已下线)第12章 复数 章末题型归纳总结-【帮课堂】(苏教版2019必修第二册)
名校
解题方法
4 . 已知虚数z满足.
(1)求证:在复平面内对应的点在直线上;
(2)若是方程的一个根,求与.
(1)求证:在复平面内对应的点在直线上;
(2)若是方程的一个根,求与.
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2023-03-27更新
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604次组卷
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4卷引用:河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题
河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题河北省承德市重点高中2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题(已下线)12.3 复数的几何意义(2)-2022-2023学年高一数学《考点·题型·技巧》精讲与精练高分突破系列(苏教版2020必修第二册)江西省赣州市大余县九师联盟联考2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题
名校
解题方法
5 . 已知,是方程的两个根
(1)证明;
(2)若复数满足,求最小值.
(1)证明;
(2)若复数满足,求最小值.
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6 . 设多项式,证明:至少有一个根为虚根.
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7 . 已知是实系数方程的虚根,记它在直角坐标平面上的对应点为.若在直线上,求证:在圆上.
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8 . 设.
(1)证明:;
(2)在复数范围内,利用公式解方程.
(1)证明:;
(2)在复数范围内,利用公式解方程.
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2023-02-04更新
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316次组卷
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5卷引用:河南省豫北名校2021-2022学年高一年级4月期中考试数学试题
河南省豫北名校2021-2022学年高一年级4月期中考试数学试题(已下线)7.2.2 复数的乘、除运算(分层作业)-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第二册)第十章 复数(B卷·能力提升练)-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷(人教B版2019必修第四册)(已下线)第七章《复数》同步单元必刷卷(培优卷)-2022-2023学年高一数学《考点·题型·技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)(已下线)专题强化 复数高频考点一遍过精练必刷题-2022-2023学年高一数学《考点·题型·技巧》精讲与精练高分突破系列(苏教版2019必修第二册)
解题方法
9 . 在复平面内,设复数对应向量,它的共轭复数对应向量.
(1)若复数是关于的方程的一个虚根,求出实数的取值范围,并用表示;
(2)若,且点满足,求的重心所对应的复数;
(3)若,可知在变化时会对应到不同的复数,若取不同的,,使得其所对应的复数满足,求证:所对应的点可以构成矩形.
(1)若复数是关于的方程的一个虚根,求出实数的取值范围,并用表示;
(2)若,且点满足,求的重心所对应的复数;
(3)若,可知在变化时会对应到不同的复数,若取不同的,,使得其所对应的复数满足,求证:所对应的点可以构成矩形.
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10 . 已知:,是方程的根.求证:.
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