名校
1 . 设A为非空集合,令,则的任意子集R都叫做从A到A的一个关系(Relation),简称A上的关系.例如时,{0,2},,,{(0,0),(2,1)}等都是A上的关系.设R为非空集合A上的关系.给出如下定义:
①(自反性)若,有,则称R在A上是自反的;
②(对称性)若,有,则称R在A上是对称的;
③(传递性)若,有,则称R在A上是传递的;
如果R同时满足这3条性质,则称R为A上的等价关系.
(1)已知,按要求填空:
①用列举法写出______________________;
②A上的关系有____________个(用数值做答);
③用列举法写出A上的所有等价关系:{(0,0),(1,1),(2,2)},{(0,0),(1,1),(2,2),(0,1),(1,0)},{(0,0),(1,1),(2,2),(0,2),(2,0)},_______________,_______________,共5个.
(2)设和是某个非空集合A上的关系,证明:
①若,是自反的和对称的,则也是自反的和对称的;
②若,是传递的,则也是传递的.
(3)若给定的集合A有n个元素(),,,...,为A的非空子集,满足且两两交集为空集.求证:为A上的等价关系.
①(自反性)若,有,则称R在A上是自反的;
②(对称性)若,有,则称R在A上是对称的;
③(传递性)若,有,则称R在A上是传递的;
如果R同时满足这3条性质,则称R为A上的等价关系.
(1)已知,按要求填空:
①用列举法写出______________________;
②A上的关系有____________个(用数值做答);
③用列举法写出A上的所有等价关系:{(0,0),(1,1),(2,2)},{(0,0),(1,1),(2,2),(0,1),(1,0)},{(0,0),(1,1),(2,2),(0,2),(2,0)},_______________,_______________,共5个.
(2)设和是某个非空集合A上的关系,证明:
①若,是自反的和对称的,则也是自反的和对称的;
②若,是传递的,则也是传递的.
(3)若给定的集合A有n个元素(),,,...,为A的非空子集,满足且两两交集为空集.求证:为A上的等价关系.
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20-21高二下·上海浦东新·期末
名校
2 . 已知定义在R上的函数与.
(1)对于任意满足的实数p,q,r均有并判断函数的奇偶性,并说明理由
(2)函数与(均为奇函数,在上是增函数,在上是增函数,试判断函数与在R上是否是增函数?如果是请证明,如果不是请说明理由.
(3)函数与均为单调递增的一次函数,为整数当且仅当为整数.求证:对一切,为整数.
(1)对于任意满足的实数p,q,r均有并判断函数的奇偶性,并说明理由
(2)函数与(均为奇函数,在上是增函数,在上是增函数,试判断函数与在R上是否是增函数?如果是请证明,如果不是请说明理由.
(3)函数与均为单调递增的一次函数,为整数当且仅当为整数.求证:对一切,为整数.
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3 . 已知函数是定义在上的不恒为零的函数,对于任意非零实数满足,且当时,有.
(Ⅰ)判断并证明的奇偶性;
(Ⅱ)求证:函数在上为增函数,并求不等式的解集.
(Ⅰ)判断并证明的奇偶性;
(Ⅱ)求证:函数在上为增函数,并求不等式的解集.
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4 . 设M是由满足下列条件的函数构成的集合:“①方程有实数根;②函数的导数满足”.
(1)判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由;
(2)若集合M中的元素具有下面的性质:“若的定义域为D,则对于任意,都存在,使得等式成立”,试用这一性质证明:方程只有一个实数根;
(3)设是方程的实数根,求证:对于定义域中的任意的,当且时,.
(1)判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由;
(2)若集合M中的元素具有下面的性质:“若的定义域为D,则对于任意,都存在,使得等式成立”,试用这一性质证明:方程只有一个实数根;
(3)设是方程的实数根,求证:对于定义域中的任意的,当且时,.
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名校
5 . 设正整数,若由实数组成的集合满足如下性质,则称为集合:对中任意四个不同的元素,均有.
(1)判断集合和是否为集合,说明理由;
(2)若集合为集合,求中大于1的元素的可能个数;
(3)若集合为集合,求证:中元素不能全为正实数.
(1)判断集合和是否为集合,说明理由;
(2)若集合为集合,求中大于1的元素的可能个数;
(3)若集合为集合,求证:中元素不能全为正实数.
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2024-01-19更新
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192次组卷
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2卷引用:北京市朝阳区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题
解题方法
6 . 已知定义在上的函数.
(1)求的值;
(2)判断函数的奇偶性,并证明.
(1)求的值;
(2)判断函数的奇偶性,并证明.
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解题方法
7 . 已知函数
(1)当时,求的单调递增区间(只需判定单调区间,不需要证明);
(2)设在区间上最大值为,求的解析式.
(1)当时,求的单调递增区间(只需判定单调区间,不需要证明);
(2)设在区间上最大值为,求的解析式.
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2023-11-22更新
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275次组卷
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3卷引用:广东省阳江市2023-2024学年高二上学期1月期末测试数学试题
广东省阳江市2023-2024学年高二上学期1月期末测试数学试题浙江省杭州市源清中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(已下线)专题04 函数的性质与应用1-期末复习重难培优与单元检测(人教A版2019)
名校
解题方法
8 . 已知函数,.
(1)当时,求函数的定义域;
(2)当时,判断函数的奇偶性并证明;
(3)给定实数且,试判断是否存在直线,使得函数的图象关于直线对称?若存在,求出的值(用表示);若不存在,请说明理由.
(1)当时,求函数的定义域;
(2)当时,判断函数的奇偶性并证明;
(3)给定实数且,试判断是否存在直线,使得函数的图象关于直线对称?若存在,求出的值(用表示);若不存在,请说明理由.
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2024-01-20更新
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100次组卷
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2卷引用:广东省广州市番禺区2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试题
解题方法
9 . 已知函数.
(1)证明:函数为奇函数;
(2)当时,求的值域.
(1)证明:函数为奇函数;
(2)当时,求的值域.
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解题方法
10 . 已知函数.
(1)当时,求的最值;
(2)当时,判断在区间上的单调性,并用定义法证明你的结论.
(1)当时,求的最值;
(2)当时,判断在区间上的单调性,并用定义法证明你的结论.
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