1 . 函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.
(1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由；
(2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围；
(3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有.

2 . 定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）.
定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）.
定义3:对于一个数集，如果满足下列关系:
①有零元和单位元；
②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的；
③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域.
(1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）；
(2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的；
(3)已知集合，证明:集合是一个数域.

3 . 若函数在定义域上满足，且时,定义域为的为偶函数.
(1)求证：函数在定义域上单调递增.
(2)若在区间上，；在上的图象关于点对称.
（i）求函数和函数在区间上的解析式.
（ii）若关于x的不等式，对任意定义域内的恒成立，求实数存在时，的最大值关于a的函数关系.

4 . 对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”．
(1)判断函数是否存在“函数”，请说明理由；
(2)若非常值函数是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得；
(3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值．

5 . 已知函数，其中，为实数且.
(1)当时，根据定义证明在单调递增；
(2)求集合.

6 . 定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）.
定义2：集合上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.
(1)族，族，判断族与族是否为集合的拓扑；
(2)设有限集为全集
（i）证明：；
（ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑.

7 . 设，已知由自然数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表：
，其中，设，令是，，…，中的最大值．
(1)若，，且，求，，及；
(2)若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值；
(3)若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．

8 . 已知集合.若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作.
(1)当，即集合.
（i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为；
（ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于；
(2)证明：；
(3)证明：.

9 . 设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集：
①；
②，若，则；
③，若，则．
(1)当时，判断是否为U的子集，说明理由；
(2)当时，若A为U的子集，求证：；
(3)当时，若A为U的子集，求集合A．

10 . 设集合，若集合S中的元素同时满足以下条件：
①，恰好都含有3个元素；
②，，为单元素集合；
③
则称集合S为“优选集”．
(1)判断集合，是否为“优选集”；
(2)证明：若集合S为“优选集”，则，至多属于S中的三个集合；
(3)若集合S为“优选集”，求集合S的元素个数的最大值．