1 . 若函数的定义域为，且对于任意的、，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数，记
，，，…，，其中，2，3，…，并对任意的，记集合，并规定.
(1)若，函数的定义域为，求和；
(2)若函数的定义域为，且存在正整数，使得对任意的，，求证：函数为上的“单值函数”；
(3)设，若函数的定义域为，且表达式为：
判断是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间，存在正整数，使得.

2 . 设为非空集合，令，则的任意子集都叫做从到的一个关系（），简称上的关系．例如时，，，，等都是上的关系．设为非空集合上的关系．如果满足：
①（自反性）若，有，则称在上是自反的；
②（对称性）若，有，则称在上是对称的；
③（传递性）若，，有，则称在上是传递的；
称为上的等价关系．
(1)已知．用列举法写出，然后写出上的关系有多少个，最后写出上的所有等价关系．（只需写出结果）
(2)设和是某个非空集合上的关系，证明：
（ⅰ）若，是自反的和对称的，则也是自反的和对称的；
（ⅱ）若，是传递的，则也是传递的．
(3)若给定的集合有个元素，为的非空子集，满足且两两交集为空集．求证：为上的等价关系．

7 . 已知集合（，），若存在数阵满足：
①；
②．
则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．
(1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；
(2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．

8 . 设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，取整函数是德国数学家高斯最先使用，也称高斯函数．该函数具有以下性质：
①的定义域为R，值域为Z；
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分；
③；
④若整数a，b满足，则.
(1)解方程；
(2)已知实数r满足，求的值；
(3)证明：对于任意的大于等于3的正整数n，均有．

10 . 已知为所有元有序数组所组成的集合.其中（）.
对于中的任意元素，定义，的距离：

若，为的子集，且有个元素，并且满足任意，都存在唯一的，使得，则称为“好集”.
(1)若，，，，，，求，及的值；
(2)当时，求证：存在“好集”，且“好集”中不同元素的距离为5；
(3)求证：当时，“好集”不存在.