1 . 设对集合上的任意两相异实数，，若恒成立，则称在上优于；若恒成立，则称在上严格优于.
（1）设在上优于，且是偶函数，判断并证明的奇偶性；
（2）若在上严格优于，，若是上的增函数，求证：在上也是增函数；
（3）设函数，，若，是否存在实数使得在上优于，若存在，求实数的最大值；若不存在，请说明理由.

2 . 若函数满足：对任意实数以及定义中任意两数、（），恒有，则称是下凸函数.
（1）证明：函数是下凸函数；
（2）判断是不是下凸函数，并说明理由；
（3）若是定义在上的下凸函数，常数，满足：，，且，求证：，并求在上的解析式.

3 . 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在区间上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数（）的值域为，求b的值；
（2）研究函数（常数）在定义域上的单调性，并说明理由；
（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

4 . 已知数列是无穷数列，满足.
（1）若，，求，，的值；
（2）求证：“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；
（3）求证：存在正整数k，使得.

5 . 设集合的元素均为实数，若对任意，存在，．使得且，则称元素最少的和为的“孪生集”；称的“孪生集”的“孪生集”为的“2级孪生集”；称的“2级孪生集”的“孪生集”为的“3级孪生集”，依次类推．．．．．．．
（1）设，直接写出集合的“孪生集”；
（2）设元素个数为的集合的“孪生集”分别为和，若使集合中元素个数最少且所有元素之和为3，证明：中所有元素之和为；
（3）若，请直接写出的“级孪生集”的个数，设的所有“级孪生集”的并集为，若；求有序集合组的个数．

6 . 已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在实数，使得.
（1）判断函数（为常数）是否属于集合；
（2）若属于集合，求实数的取值范围；
（3）若，求证：对任意实数，都有属于集合.

7 . 定义在上的函数，如果对任意，恒有成立，则称为阶缩放函数．
（1）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求的值；
（2）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求证：函数在上无零点；
（3）已知函数为阶缩放函数，且当时， 的取值范围是，求在上的取值范围．

8 . 已知函数的定义域为，且的图像连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质.
（1）已知函数，判断是否具有性质，并说明理由；
（2）求证：任取，函数，具有性质；
（3）已知函数，，若具有性质，求的取值范围.

9 . 已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.
分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；
集合是“独立的”，求证：存在，使得.

10 . 已知非空集合是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意，均存在反函数，且；②对任意，方程均有解；③对任意、，若函数为定义在上的一次函数，则.
（1）若，，均在集合中，求证：函数；
（2）若函数（）在集合中，求实数的取值范围；
（3）若集合中的函数均为定义在上的一次函数，求证：存在一个实数，使得对一切，均有.