名校
1 . 定义:有限非空数集的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”,例如:集合,其“积数”.
(1)若有限数集,求证:集合的所有非空子集的“积数”之和满足;
(2)根据(1)的结论,对于有限非空数集(),记集合A的所有非空子集的“积数”之和,试写出的表达式,并利用“数学归纳法”给予证明;
(3)若有限集,
①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数;
②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
(1)若有限数集,求证:集合的所有非空子集的“积数”之和满足;
(2)根据(1)的结论,对于有限非空数集(),记集合A的所有非空子集的“积数”之和,试写出的表达式,并利用“数学归纳法”给予证明;
(3)若有限集,
①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数;
②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
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2 . 对于定义在上的函数,如果存在两条平行直线与,使得对于任意,都有恒成立,那么称函数是带状函数,若,之间的最小距离存在,则称为带宽.
(1)判断函数是不是带状函数?如果是,指出带宽(不用证明);如果不是,说明理由;
(2)求证:函数()是带状函数;
(3)求证:函数()为带状函数的充要条件是.
(1)判断函数是不是带状函数?如果是,指出带宽(不用证明);如果不是,说明理由;
(2)求证:函数()是带状函数;
(3)求证:函数()为带状函数的充要条件是.
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3 . 现定义:设是非零实常数,若对于任意的,都有,则称函数为“关于的偶型函数”
(1)请以三角函数为例,写出一个“关于2的偶型函数”的解析式,并给予证明
(2)设定义域为的“关于的偶型函数”在区间上单调递增,求证在区间上单调递减
(3)设定义域为的“关于的偶型函数”是奇函数,若,请猜测的值,并用数学归纳法证明你的结论
(1)请以三角函数为例,写出一个“关于2的偶型函数”的解析式,并给予证明
(2)设定义域为的“关于的偶型函数”在区间上单调递增,求证在区间上单调递减
(3)设定义域为的“关于的偶型函数”是奇函数,若,请猜测的值,并用数学归纳法证明你的结论
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2019-12-31更新
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333次组卷
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5卷引用:上海市静安区2019-2020学年高三上学期期末数学试题
上海市静安区2019-2020学年高三上学期期末数学试题2020届上海市静安区高三一模(期末)数学试题(已下线)热点02 函数及其性质-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(上海专用)(已下线)第四章++数列1(基础过关)-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷(人教A版2019选择性必修第二册)(已下线)第二章 推理与证明(基础过关)-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷(人教版选修2-2)
名校
4 . 对于正整数集合,如果任意去掉其中一个元素之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合为“可分集合”.
(1)判断集合和是否是“可分集合”(不必写过程);
(2)求证:五个元素的集合一定不是“可分集合”;
(3)若集合是“可分集合”.
①证明:为奇数;
②求集合中元素个数的最小值.
(1)判断集合和是否是“可分集合”(不必写过程);
(2)求证:五个元素的集合一定不是“可分集合”;
(3)若集合是“可分集合”.
①证明:为奇数;
②求集合中元素个数的最小值.
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2019-12-27更新
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573次组卷
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4卷引用:北京市顺义区牛栏山第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题
北京市顺义区牛栏山第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题北京市密云区2019-2020学年高一上学期期末数学试题(已下线)第1章《集合》 培优测试卷(二)-2021-2022学年高一数学上册同步培优训练系列(苏教版2019)(已下线)专题05 集合与常用逻辑用语压轴题型汇总-2021-2022学年高一《新题速递·数学》(人教A版2019)
5 . 设为正整数,集合对于,设集合.
(1)若,写出集合;
(2)若,且满足令 ,求证: ;
(3)若,且 ,求证: .
(1)若,写出集合;
(2)若,且满足令 ,求证: ;
(3)若,且 ,求证: .
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名校
6 . 设为正整数,集合. 任取集合A中的个元素(可以重复),,,,其中.
(1)若,,直接写出;
(2)对于,,,证明:;
(3)对于某个正整数,若集合A满足:对于A中任意个元素,都有,则称集合A具有性质. 证明:若,集合A具有性质,则,集合A都具有性质.
(1)若,,直接写出;
(2)对于,,,证明:;
(3)对于某个正整数,若集合A满足:对于A中任意个元素,都有,则称集合A具有性质. 证明:若,集合A具有性质,则,集合A都具有性质.
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名校
7 . 置换是代数的基本模型,定义域和值域都是集合的函数称为次置换.满足对任意的置换称作恒等置换.所有次置换组成的集合记作.对于,我们可用列表法表示此置换:,记.
(1)若,计算;
(2)证明:对任意,存在,使得为恒等置换;
(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌,分成上下各26张两部分,互相交错插入,即第1张不动,第27张变为第2张,第2张变为第3张,第28张变为第4张,......,依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型?请说明理由.
(1)若,计算;
(2)证明:对任意,存在,使得为恒等置换;
(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌,分成上下各26张两部分,互相交错插入,即第1张不动,第27张变为第2张,第2张变为第3张,第28张变为第4张,......,依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型?请说明理由.
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2024-02-27更新
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2282次组卷
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4卷引用:浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期返校考试数学试卷
浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期返校考试数学试卷(已下线)第3套-期初重组模拟卷湖南省湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期高考适应性演练(一)数学试题(已下线)数学(九省新高考新结构卷02)
8 . 已知函数与有相同的定义域.若存在常数(),使得对于任意的,都存在,满足,则称函数是函数关于的“函数”.
(1)若,,试判断函数是否是关于的“函数”,并说明理由;
(2)若函数与均存在最大值与最小值,且函数是关于的“函数”,又是关于的“函数”,证明:;
(3)已知,,其定义域均为.给定正实数,若存在唯一的,使得是关于的“函数”,求的所有可能值.
(1)若,,试判断函数是否是关于的“函数”,并说明理由;
(2)若函数与均存在最大值与最小值,且函数是关于的“函数”,又是关于的“函数”,证明:;
(3)已知,,其定义域均为.给定正实数,若存在唯一的,使得是关于的“函数”,求的所有可能值.
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9 . 已知S是全体复数集的一个非空子集,如果,总有,则称S是数环.设是数环,如果①内含有一个非零复数;②且,有,则称是数域.由定义知有理数集是数域.
(1)求元素个数最小的数环;
(2)证明:记,证明:是数域;
(3)若是数域,判断是否是数域,请说明理由.
(1)求元素个数最小的数环;
(2)证明:记,证明:是数域;
(3)若是数域,判断是否是数域,请说明理由.
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名校
10 . 已知集合(,),若存在数阵满足:
①;
②.
则称集合为“好集合”,并称数阵为的一个“好数阵”.
(1)已知数阵是的一个“好数阵”,试写出,,,的值;
(2)若集合为“好集合”,证明:集合的“好数阵”必有偶数个;
(3)判断是否为“好集合”.若是,求出满足条件的所有“好数阵”;若不是,说明理由.
①;
②.
则称集合为“好集合”,并称数阵为的一个“好数阵”.
(1)已知数阵是的一个“好数阵”,试写出,,,的值;
(2)若集合为“好集合”,证明:集合的“好数阵”必有偶数个;
(3)判断是否为“好集合”.若是,求出满足条件的所有“好数阵”;若不是,说明理由.
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2024-03-27更新
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943次组卷
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4卷引用:北京市丰台区2023-2024学年高三下学期综合练习(一)数学试题
北京市丰台区2023-2024学年高三下学期综合练习(一)数学试题(已下线)压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总 -1北京市第八十中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题北京市日坛中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题