1 . 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，并求的值.

2 . 如图，在中，，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点在斜边上.

   

(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦的最大值.

3 . 如图所示，在正方体中．求证：（立体几何证明过程中不可使用向量法，否则不给分）

(1)直线平面；
(2)平面平面．

4 . 如图，在四棱锥中， ABCD，四边形ABCD是菱形，，M，N分别为的中点．
   
(1)证明：平面；
(2)若，求点N到平面的距离．

5 . 如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若四边形EFGH为平行四边形.

(1)求证：平面；
(2)若，，求四边形周长的取值范围.

6 . 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为的中点，是底面的内接正三角形．
   
(1)若底面圆的半径为2，直线与底面的夹角为，求圆锥侧面展开图的面积;
(2)若，证明：平面平面．

7 . 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
   
(1)证明：；
(2)若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且三棱锥的体积为，求二面角的大小.

8 . 已知圆过点，且与直线相切于点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若，点在圆上运动，证明：为定值．

9 . 如图，在棱长为的正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC边上的中点，现以EF为折痕将点C旋转至点P的位置，使得为直二面角.

(1)证明：；
(2)求与面所成角的正弦值.

10 . 如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，点E，F分别为AD，PC的中点．

(1)证明：平面PBE；
(2)求点F到平面PBE的距离．