1 . 如图，在正四棱锥中，，点O为底面的中心，点P在棱上，且的面积为1．

(1)若点P是的中点，求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在一点P使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明强由．

2 . 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.

(1)求证：平面；
(2)求与平面所成的角；
(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

3 . 如图，在边长为的正方形中，点，分别在，上（如图1），且，将，分别沿，折起，使，两点重合于点（如图2）．

（1）求证：；
（2）当时，求点到平面的距离．

4 . 如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，，求证：

（1）平面；
（2）平面.

5 . 如图，在直三棱柱中，为中点．

（1）求证：平面；
（2）若，，且，求三棱锥的体积．

6 . 如图，四棱锥中，底面，且底面为平行四边形，若，，.

（1）求证：面面；
（2）若，求点到平面的距离.

7 . 如图，在矩形中，，，将矩形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，已知长为，AC为圆O的直径，B为圆周上的一点，且与在平面的同侧.

（1）求证：；
（2）若点B恰为在圆O所在平面上的投影，求多面体的体积.

8 . 如图，三棱锥中，侧面是边长为的正三角形，，平面平面，把平面沿旋转至平面的位置，记点旋转后对应的点为（不在平面内），、分别是、的中点.

（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积的最大值.

9 . 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，.

（1）求证：；
（2）若，，棱锥的体积为1，且点在侧面上的投影为点，求三棱锥的表面积

10 . 如图，已知边长为2的正三角形所在的平面与菱形所在的平面垂直，且，点是的中点.

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.