名校
1 . 已知数列
满足： 
，当 
时，记
,
. 给出如下4个结论：
①
；
②当
，数列是递增数列；
③当
时，存在正数
使得
；
④集合
.
其中正确命题的序号是_____________________
满足： ，当 时，记,. 给出如下4个结论：①
；②当
，数列是递增数列；③当
时，存在正数使得；④集合
.其中正确命题的序号是
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名校
2 . 已知数列，
，
．给出下列四个结论：
①
； ②
；
③
为递增数列； ④
，使得
．
其中所有正确结论的序号是______ ．
，，．给出下列四个结论：①
； ②；③
为递增数列； ④，使得．其中所有正确结论的序号是
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3 . 设数列
的前
项和为
，若对任意的正整数，总存在正整数
，使得
，下列正确的命题是（ ）
①可能为等差数列；
②可能为等比数列；
③
均能写成的两项之差；
④对任意
，总存在
，使得
．
的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是（ ）①
可能为等差数列；②
可能为等比数列；③
均能写成的两项之差；④对任意
，总存在，使得．| A．①③ | B．①④ | C．②③ | D．②④ |
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2024-02-27更新
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545次组卷
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3卷引用：北京市第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷
名校
4 . 项数为
的有限数列的各项均为不小于
的整数，满足
，其中
．给出下列四个结论：
①若
，则
；
②若
，则满足条件的数列有4个；
③存在
的数列；
④所有满足条件的数列中，首项相同．
其中所有正确结论的序号是_____________________ ．
的有限数列的各项均为不小于的整数，满足，其中．给出下列四个结论：①若
，则；②若
，则满足条件的数列有4个；③存在
的数列；④所有满足条件的数列
中，首项相同．其中所有正确结论的序号是
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名校
5 . 若数列满足：存在
和
，使得对任意
和
，都有
，则称数列为“
数列”；如果数列满足：存在，使得对任意
，都有
，则称数列为“
数列”；
(1)在下列情况下，分别判断是否“数列”，是否“数列”？①，
，
；②
，
；
(2)若数列
，
是“数列”，其中
且
，求
的所有可能值；
(3)设“数列”和“数列”
的各项均为正数，定义分段函数
，
如下：记
为“不超过
的最大正整数”，
证明：若是周期函数，则是“数列”.
满足：存在和，使得对任意和，都有，则称数列为“数列”；如果数列满足：存在，使得对任意，都有，则称数列为“数列”；(1)在下列情况下，分别判断
是否“数列”，是否“数列”？①，，；②，；(2)若数列
，是“数列”，其中且，求的所有可能值；(3)设“
数列”和“数列”的各项均为正数，定义分段函数，如下：记为“不超过的最大正整数”，证明：若是周期函数，则是“数列”.
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6 . 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列．现对数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n（
）次得到的数列的所有项之和为
，则
（ ）
）次得到的数列的所有项之和为，则（ ）| A．1095 | B．3282 | C．6294 | D．9843 |
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2024-01-25更新
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399次组卷
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2卷引用：北京市东直门中学2024届高三下学期开学检测数学试题
名校
7 . 已知数列满足：
，则下列命题正确的是（ ）
满足：，则下列命题正确的是（ ）| A．若数列为常数列，则 | B．存在 ，使数列为递减数列 |
C．任意 ，都有为递减数列 | D．任意 ，都有 |
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2024-01-25更新
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577次组卷
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4卷引用：北京市第八十中学2024届高三下学期开学考试数学试卷
名校
8 . 若无穷数列满足：
，对于
，都有
（其中
为常数），则称具有性质“
”.
(1)若具有性质“
”，且
，
，
，求
；
(2)若无穷数列是等差数列，无穷数列
是公比为2的等比数列，
，
，
，判断是否具有性质“
”，并说明理由；
(3)设既具有性质“
”，又具有性质“
”，其中
，
，
，求证：具有性质“
”.
满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.(1)若
具有性质“”，且，，，求；(2)若无穷数列
是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；(3)设
既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，，求证：具有性质“”.
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2024-01-17更新
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599次组卷
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4卷引用：北京市房山区2024届高三上学期期末数学试题
名校
9 . 设数列满足：
，其中表示不超过实数的最大整数．若
被正整数
除所得的余数为，则记
，若数列中不同的两项
被除所得余数相同，则记
．
(1)直接写出
；
(2)若
，证明：
；
(3)证明：数列有无穷多项是7的倍数．
满足：，其中表示不超过实数的最大整数．若被正整数除所得的余数为，则记，若数列中不同的两项被除所得余数相同，则记．(1)直接写出
；(2)若
，证明：；(3)证明：数列
有无穷多项是7的倍数．
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名校
解题方法
10 . 已知数列满足
，当
时，有以下3个结论：①
时，
，②
，存在常数
，使得
恒成立，③
时，为递减数列，其中正确的个数为（ ）
满足，当时，有以下3个结论：①时，，②，存在常数，使得恒成立，③时，为递减数列，其中正确的个数为（ ）| A．0 | B．1 | C．2 | D．3 |
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