1 . 已知数列是无穷数列，其前n项和为若对任意的正整数，存在正整数， ()使得，则称数列是“S数列".
（1）若判断数列是否是“S数列”，并说明理由;
（2）设无穷数列的前n项和且，证明数列不是“S数列";
（3）证明:对任意的无穷等差数列，存在两个“S数列"和，使得成立.

2 . 设数列（）的各项均为正整数，且.若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质.
（1）判断数列与数列是否具有性质；（只需写出结论）
（2）若数列具有性质，且，，，求的最小值；
（3）若集合，且（任意，）.求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.

3 . 若无穷数列满足：存在，并且只要，就有（t为常数，），则称具有性质T．
（Ⅰ）若具有性质T，且，，，，，求；
（Ⅱ）若无穷数列的前n项和为，且，证明存在无穷多个b的不同取值，使得数列具有性质T；
（Ⅲ）设是一个无穷数列，数列中存在，且．求证：“为常数列”是“对任意正整数，都具有性质T”的充分不必要条件．

4 . 已知大于1的三个实数满足，则的大小关系不可能是（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 设为正整数，各项均为正整数的数列定义如下： ，
（1）若，写出，，；
（2）求证：数列单调递增的充要条件是为偶数；
（3）若为奇数，是否存在满足？请说明理由．

6 . 甲乙二人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.规定：若甲掷出1点，则由甲继续掷，否则下一次由乙掷；若乙掷出3点，则由乙继续掷，否则下一次由甲掷，两人始终按此规则进行.记第次由甲掷的概率为，则______，______.

7 . 各项均为非负整数的数列{a_n}同时满足下列条件：
①a₁=m(mN^*)；②a_n⩽n-1(n≥2)；③n是a₁+a₂+‥+a_n的因数（n ≥1）．
（Ⅰ）当m=5时，写出数列{a_n}的前五项；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前三项互不相等，且n≥3时，a_n为常数，求m的值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a_n为常数．

8 . 在无穷数列中，是给定的正整数，，．
（Ⅰ）若，写出的值；
（Ⅱ）证明：数列中存在值为的项；
（Ⅲ）证明：若互质，则数列中必有无穷多项为．

9 . 已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②.
（1）若，，写出满足条件的所有的值；
（2）求证：当时，；
（3）求所有可能取值中的最大值.

10 . 已知函数，若（），则的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．