名校
1 . 在正项无穷数列中,若对任意的,都存在,使得,则称为阶等比数列.在无穷数列中,若对任意的,都存在,使得,则称为阶等差数列.
(1)若为1阶等比数列,,求的通项公式及前项和;
(2)若为阶等比数列,求证:为阶等差数列;
(3)若既是4阶等比数列,又是5阶等比数列,证明:是等比数列.
(1)若为1阶等比数列,,求的通项公式及前项和;
(2)若为阶等比数列,求证:为阶等差数列;
(3)若既是4阶等比数列,又是5阶等比数列,证明:是等比数列.
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2024-03-10更新
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950次组卷
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4卷引用:山东省德州市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
2010·山东烟台·一模
解题方法
2 . 已知数列满足:,
(1)求得值;
(2)设求证:数列是等比数列,并求出其通项公式;
(3)对任意的,在数列中是否存在连续的项构成等差数列?若存在,写出这项,并证明这项构成等差数列;若不存在,说明理由.
(1)求得值;
(2)设求证:数列是等比数列,并求出其通项公式;
(3)对任意的,在数列中是否存在连续的项构成等差数列?若存在,写出这项,并证明这项构成等差数列;若不存在,说明理由.
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解题方法
3 . 已知数列是斐波那契数列,其数值为:.这一数列以如下递推的方法定义:.数列对于确定的正整数,若存在正整数使得成立,则称数列为“阶可分拆数列”.
(1)已知数列满足.判断是否对,总存在确定的正整数,使得数列为“阶可分拆数列”,并说明理由.
(2)设数列的前项和为,
(i)若数列为“阶可分拆数列”,求出符合条件的实数的值;
(ii)在(i)问的前提下,若数列满足,,其前项和为.证明:当且时,成立.
(1)已知数列满足.判断是否对,总存在确定的正整数,使得数列为“阶可分拆数列”,并说明理由.
(2)设数列的前项和为,
(i)若数列为“阶可分拆数列”,求出符合条件的实数的值;
(ii)在(i)问的前提下,若数列满足,,其前项和为.证明:当且时,成立.
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4 . 国际象棋是国际通行的智力竞技运动.国际象棋使用格黑白方格相间棋盘,骨牌为每格与棋盘的方格大小相同的格灰色方格.若某种黑白相间棋盘与骨牌满足以下三点:①每块骨牌覆盖棋盘的相邻两格;②棋盘上每一格都被骨牌覆盖;③没有两块骨牌覆盖同一格,则称骨牌构成了棋盘的一种完全覆盖.显然,我们能够举例说明格黑白方格相间棋盘能被骨牌完全覆盖.(1)证明:切掉格黑白方格相间棋盘的对角两格,余下棋盘不能被骨牌完全覆盖;
(2)请你切掉格的黑白方格相间棋盘的任意两个异色方格,然后画出余下棋盘的一种骨牌完全覆盖方式,并证明:无论切掉的是哪两个异色方格,余下棋盘都能被骨牌完全覆盖;
(3)记格黑白方格相间棋盘的骨牌完全覆盖方式数为,数列的前n项和为,证明:.
(2)请你切掉格的黑白方格相间棋盘的任意两个异色方格,然后画出余下棋盘的一种骨牌完全覆盖方式,并证明:无论切掉的是哪两个异色方格,余下棋盘都能被骨牌完全覆盖;
(3)记格黑白方格相间棋盘的骨牌完全覆盖方式数为,数列的前n项和为,证明:.
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2024-03-06更新
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779次组卷
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4卷引用:山东省菏泽第一中学人民路校区2024届高三下学期开学考试数学试题
山东省菏泽第一中学人民路校区2024届高三下学期开学考试数学试题(已下线)第四套 最新模拟重组卷江苏省苏州大学2024届高考新题型2月指导卷数学试题(已下线)压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总
5 . 记集合无穷数列中存在有限项不为零,,对任意,设变换,.定义运算:若,则,.
(1)若,用表示;
(2)证明:;
(3)若,,,证明:.
(1)若,用表示;
(2)证明:;
(3)若,,,证明:.
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6 . 大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂,要想分析出海量数据所蕴含的价值,数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位,合适的算法就会起到事半功倍的效果.现有一个“数据漏斗”软件,其功能为;通过操作删去一个无穷非减正整数数列中除以M余数为N的项,并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列.设数列的通项公式,,通过“数据漏斗”软件对数列进行操作后得到,设前n项和为.
(1)求;
(2)是否存在不同的实数,使得,,成等差数列?若存在,求出所有的;若不存在,说明理由;
(3)若,,对数列进行操作得到,将数列中下标除以4余数为0,1的项删掉,剩下的项按从小到大排列后得到,再将的每一项都加上自身项数,最终得到,证明:每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和.
(1)求;
(2)是否存在不同的实数,使得,,成等差数列?若存在,求出所有的;若不存在,说明理由;
(3)若,,对数列进行操作得到,将数列中下标除以4余数为0,1的项删掉,剩下的项按从小到大排列后得到,再将的每一项都加上自身项数,最终得到,证明:每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和.
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2024-03-21更新
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1108次组卷
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4卷引用:山东省菏泽市第二中学西安路校区2024届高三下学期3月月考数学试题
山东省菏泽市第二中学西安路校区2024届高三下学期3月月考数学试题辽宁省葫芦岛市2024届高三下学期第一次模拟数学试题辽宁省八市八校2024届度高三第二次联合模拟考试数学试题(已下线)模块3 第7套 全真模拟篇(高三重组卷)
名校
7 . 已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数,令集合.记集合中元素的个数为(约定空集的元素个数为0).
(1)若,求及;
(2)若,求证:互不相同;
(3)已知,若对任意的正整数都有或,求的值.
(1)若,求及;
(2)若,求证:互不相同;
(3)已知,若对任意的正整数都有或,求的值.
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2023-05-05更新
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3693次组卷
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10卷引用:山东省实验中学2024届高三下学期2月调研考试数学试卷
8 . 定义:对于任意一个有穷数列,在其每相邻的两项间都插入这两项的和,得到的新数列称为一阶和数列,如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和,得到二阶和数列,以此类推可以得到阶和数列,如的一阶和数列是,设n阶和数列各项和为.
(1)试求数列的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和,并猜想的通项公式(无需证明);
(2)设,的前项和,若,求的最小值
(1)试求数列的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和,并猜想的通项公式(无需证明);
(2)设,的前项和,若,求的最小值
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9 . 若数列满足(;,),称数列为数列,记为其前项和.
(Ⅰ)写出一个满足,且的数列;
(Ⅱ)若,,证明:若数列是递增数列,则;反之,若,则数列是递增数列;
(Ⅲ)对任意给定的整数(),是否存在首项为0的数列,使得?如果存在,写出一个满足条件的数列;如果不存在,说明理由.
(Ⅰ)写出一个满足,且的数列;
(Ⅱ)若,,证明:若数列是递增数列,则;反之,若,则数列是递增数列;
(Ⅲ)对任意给定的整数(),是否存在首项为0的数列,使得?如果存在,写出一个满足条件的数列;如果不存在,说明理由.
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