1 . 已知数列A：a₁，a₂，…，a_N的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
(1)①若数列A：1，2，4，5，求集合T，并写出的值；
②若数列A：1，3，x，y，且，，求数列A和集合T；
(2)若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”；
(3)请你判断是否存在最大值，并说明理由．

2 . 无穷数列和满足：①②，记的前项积为，
(1)是否存在使得的前四项依次成等差数列？若存在则写出一组这样的若不存在，则说明理由；
(2)若，求的最大值.

3 . 已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值等于_________.

4 . 定义圈数列X：；X为一个非负整数数列，且规定的下一项为，记，这样的相邻两项可以统一表示为（的相邻两项为，即；的相邻两项为）.定义圈数列X做了一次P运算：选取一项，将圈数列X变为圈数列：，即将减2，相邻两项各加1，其余项不变.并记下标k输出了一次.记X进行过i次P运算后数列为：（规定）
(1)若X：4，0，0，直接写出一组可能的；
(2)若进行q次P运算后，有，此时下标k输出的总次数为，记直接写出一组非负实数，使得对任意，都成立，并证明；
(3)若X：，0，0，…，0，证明：存在M，当正整数时，中至少有一半的项非零.

5 . 在无穷数列中，，是给定的正整数，，.
(1)若，，写出，，的值；
(2)证明：存在，当时，数列中的项呈周期变化；
(3)若，的最大公约数是，证明数列中必有无穷多项为.

6 . 对于有限数列，，，，定义：对于任意的，，有：
（i ）；
（ii ）对于，记.对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数.
(1)设数列的通项公式为，计算，并判断2是否为数列的4阶系数；
(2)设数列的通项公式为，且数列的阶系数为3，求的值；
(3)设数列为等差数列，满足-1，2均为数列的阶系数，且，求的最大值.

7 . 设正整数，其中，记，则（       ）

A．	B．
C．	D．

9 . 设等差数列的前n项和为，已知，.
(1)求
(2)若从中抽取一个公比为q的等比数列，其中，且，
①当q取最小值时，求数列的通项公式
②若关于n（）的不等式有解，求q的值.

10 . 已知正项数列的前项积为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求n的最小值.