1 . 已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：为直角三角形；
(3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.

2 . 已知双曲线的左顶点为，不与x轴平行的直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点.当直线l垂直于x轴时，.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线，分别交直线于P，Q两点，求证：A，P，F，Q四点共圆.

3 . 已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中A、B为切点，设直线、的斜率分别为、．

(1)若点的纵坐标为1，计算的值；
(2)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标．

4 . 已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，点坐标为，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的动直线与的左､右两支分别交于两点，若点在线段上，满足，证明：在定直线上.

5 . 动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，设点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知O为坐标原点，与x轴不垂直的直线l与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点P，使得四边形为平行四边形，证明：的面积为定值.

6 . 已知动圆M过定点，且在y轴上截得的弦长为4，圆心M的轨迹为曲线L．
(1)求L的方程；
(2)已知点，，P是L上的一个动点，设直线PB，PC与L的另一交点分别为E，F，求证：当P点在L上运动时，直线EF恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．

7 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明有且只有一个极小值点和一个零点，且

8 . 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.

9 . 如图，圆的右焦点为，过原点且斜率为的直线交椭圆于，两点，点在轴上的射影恰好为，且.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与直线平行，当与椭圆有两个交点，(，位于直线的两侧)，求证：.

10 . 已知抛物线C的顶点为原点，焦点F在x轴的正半轴上，直线交抛物线C于点A，交y轴于点B，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点，动直线l交抛物线C于M，N两点N两点均不与点P重合，且满足，求证：直线MN恒过定点，并求出这个定点的坐标．