1 . 已知椭圆，右焦点，直线，过右焦点的直线(不与轴重合)与椭圆交于两点，过点作，垂足为.
(1)求证：直线 过定点，并求出定点的坐标；
(2)点为坐标原点，求面积的最大值.

2 . 已知函数，
(1)当，和有相同的最小值，求的值；
(2)若有两个零点，求证：.

3 . 已知函数.
(1)若在上有唯一零点，求的取值范围；
(2)若对任意实数恒成立，证明：.

4 . 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点是椭圆上不同于左右顶点的一动点，点关于x轴的对称点为点.当直线过左焦点时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于另外一点（点和点不重合），证明直线过定点.

5 . 已知椭圆：经过，两点，是椭圆上异于的两动点，且，直线的斜率均存在.并分别记为，.
(1)求椭圆的标准方程
(2)证明直线过定点.

6 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值．

7 . 已知的顶点，点B在x轴上移动，，且BC的中点在y轴上．
（1）求C点的轨迹的方程；
（2）已知轨迹上的不同两点M，N与的连线的斜率之和为4，求证：直线MN过定点．

8 . 已知椭圆：的离心率为，椭圆焦点到上顶点的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设、是轴上分别位于椭圆内部（异于原点）、外部的两点，过点引一条斜率不为的直线交椭圆于、两点，满足，设、两点的横坐标分别，，证明：.

9 . 已知函数.
（1）若在处取得极值，求实数的值；
（2）讨论在上的单调性；
（3）证明：在（1）的条件下.

10 . 已知定义在上的函数．
（1）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；
（2）若，，，为的极小值，求证：．