1 . 已知函数在区间内恰有一个极值点，其中为自然对数的底数.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：在区间内有唯一零点.

2 . 在①焦点到准线的距离是，②准线方程是，③通径的长等于.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：在平面直角坐标系中，已知抛物线，______.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过的直线与抛物线相交于点、，求证：是直角三角形.
注；如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

3 . 已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直.
(1)求；
(2)已知点，若直线与椭圆交于，且以为直径的圆过点（不与重合），求证直线过定点，并求出定点.

4 . 椭圆为椭圆的一个焦点，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同的两点.
（i）若直线的斜率成等比数列，求实数的取值范围；
（ii）若以为直径的圆过椭圆与轴正半轴的交点，求证：直线过异于点的一个定点，并求出该定点的坐标.

5 . 如图，已知抛物线的焦点F，且经过点，．

(1)求p和m的值；
(2)点M，N在C上，且．过点A作，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值．

6 . 抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图所示，今有抛物线（），一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：上的点N，再反射后又射回点M，设P，Q两点的坐标分别是，．

(1)证明：；
(2)求抛物线方程．

7 . 已知，函数，是的导函数．
(1)当时，求证：存在唯一的，使得；
(2)若存在实数a，b，使得恒成立，求的最小值．

8 . 已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，双曲线C的右焦点为，双曲线C的左、右顶点分别为A，B．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴的上方），直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，证明：为定值．

9 . 设抛物线的焦点为F，经过x轴正半轴上点M(m，0)的直线l交r于不同的两点A和B.
(1)若|FA|=3，求点A的坐标；
(2)若m=2，求证:原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；
(3)若|FA|=|FM|，且直线，与抛物线有且只有一个公共点E，问:△OAE的面积是否存在最小值?若存在，求出最小值，并求出M点的坐标，若不存在，请说明理由.

10 . 已知双曲线：的左、右顶点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点（点在轴上方）．
（1）若，求直线的方程；
（2）设直线的斜率分别为，，证明：为定值．