1 . 已知函数.
（1）求在区间上的最大值；
（2）证明：，都有；
（3）若，且，求证：.

2 . 已知椭圆的方程为：，其焦点在轴上，离心率.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得为定值？
若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.

3 . 已知抛物线，点到焦点的距离为，直线与抛物线交于两点，设直线斜率分别为．
(1)求；
(2)若，证明直线过定点，并求出满足条件的定点坐标．

4 . 在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆．椭圆过，

(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在．证明：为定值．

5 . 已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：对任意的，；

6 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线：，为其焦点，点的坐标为，设为抛物线上异于顶点的动点，直线交抛物线于另一点，连接，并延长分别交抛物线于点.
(1)当轴时，求直线与轴交点的坐标;
(2)当直线的斜率存在且分别记为，时，求证：.

7 . 已知函数.
(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)求证：当时，.

8 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)已知，且是的两个零点，，证明：．

9 . 已知函数，.
(1)求证：在上单调递增；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.

10 . 已知椭圆的左右焦点分别为、，左右顶点分别为、，是椭圆上异于、的任意一点，、斜率之积为，且的面积最大值为.
   
(1)求椭圆的方程；
(2)直线交椭圆于另一点，分别过、作椭圆的切线，这两条切线交于点，证明：.