1 . 已知函数.
（1）讨论的零点个数；
（2）证明：当时，.

2 . 已知函数．
（Ⅰ）若对任意，都有成立，求的取值范围；
（Ⅱ）证明：．

3 . 已知函数（），且只有一个零点.
（1）求实数a的值；
（2）若，且，证明：.

4 . 已知函数（）.
（1）若，证明：；
（2）记函数，，是的两个实数根，且，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，直线垂直于且交线段于点，若，则该椭圆的离心率的取值范围是______.

6 . （1）在圆中有这样的结论：对圆上任意一点，设、是圆和轴的两交点，且直线和的斜率都存在，则它们的斜率之积为定值-1.试将该结论类比到椭圆，并给出证明.
（2）已知椭圆，，，设直线与椭圆交于不同于、的两点、，记直线、、的斜率分别为、、.
（ⅰ）若直线过定点，则是否为定值.若是，请证明；若不是，请说明理由.
（ⅱ）若，求所有整数，使得直线变化时，总有.

7 . 已知函数，其中.
（1）当时，若直线是曲线的切线，求的最大值；
（2）设，函数有两个不同的零点，求的最大整数值.（参考数据）

8 . 已知函数．
（1）当函数在内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个不同的极值点，求证：．

9 . 已知点，分别是椭圆的上顶点和左焦点，若与圆相切于点，且点是线段靠近点的三等分点.

求椭圆的标准方程；
直线与椭圆只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于，两点，求面积的取值范围.

10 . 如图所示，椭圆，、，为椭圆的左、右顶点．

设为椭圆的左焦点，证明:当且仅当椭圆上的点在椭圆的左、右顶点时，取得最小值与最大值．
若椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为，求椭圆的标准方程．
若直线与中所述椭圆相交于、两点（、不是左、右顶点），且满足，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．